Arg max

In matematica, gli argomenti del massimo (abbreviato come arg max) sono i punti di un dato argomento per i quali una data funzione raggiunge il suo massimo:

Definizione

Dato un insieme di punti $X$ , l'argomento del massimo è dato da

\underset{x \in X}{a r g m a x} f (x) := {x | \forall y : f (y) \leq f (x)} .

In altre parole, è l'insieme dei valori di $x$ per i quali $f (x)$ raggiunge il suo più alto valore $M$ . Per esempio, se $f (x)$ è $1 - | x |$ , raggiungerà il suo valore massimo $1$ per $x = 0$ e solo in quel punto, quindi

\underset{x}{a r g m a x} (1 - | x |) = {0}

.

Equivalentemente, se $M$ è il massimo di $f$ , allora l'arg max è l'insieme di livello del suo massimo:

\underset{x}{a r g m a x} f (x) = f^{- 1} (M) = {x | f (x) = M} .

Se il massimo è raggiunto per un singolo valore, allora ci si riferisce a tale punto come il massimo argomento, cioè si definisce l'arg max come un punto, non un insieme di punti. Così, per esempio,

\underset{x \in ℝ}{a r g m a x} (x (10 - x)) = 5,

(piuttosto che il singoletto ${5}$ ), poiché il valore massimo di $x (10 - x)$ è $25$ , il quale si ottiene per $x = 5$ .

Tuttavia, nel caso in cui il massimo fosse raggiunto in molti valori, arg max è un insieme di punti.

Quindi, si ha per esempio

\underset{x \in [0, 4 π]}{a r g m a x} \cos (x) = {0, 2 π, 4 π},

poiché il valore massimo di $\cos (x)$ è $1$ , il quale si ottiene per $x = 0$ , $2 π$ o $4 π$ . Sull'intera retta reale, l'arg max è ${2 k π}$ , con $k \in ℤ$ .

Si noti inoltre che le funzioni, in generale, non raggiungono un valore massimo, e quindi in generale non hanno un massimo argomento: ${a r g m a x}_{x \in ℝ} x$ non è definito, così $x$ è illimitato sulla retta reale. Tuttavia, per il teorema di Weierstrass (o per le proprietà degli spazi compatti), una funzione continua su un compatto ammette massimo, e quindi un arg max.

Argomento del minimo

Similmente arg min sta per argomento del minimo, ed è definito in modo del tutto analogo. Per esempio,

\underset{x}{a r g m i n} f (x) := {x | \forall y : f (y) \geq f (x)} .

sono i valori di $x$ per i quali $f (x)$ raggiunge il suo valore minimo.

Proprietà

$\arg max_{x} {- f (x)} = \arg min_{x} f (x)$ .
Invarianza rispetto alle costanti additive: $\arg max_{x} {f (x) + a} = \arg max_{x} f (x)$ per ogni $a \in ℝ$ .
Invarianza rispetto alle costanti moltiplicative positive: $\arg max_{x} {c f (x)} = \arg max_{x} {f (x)}$ per ogni $c > 0$ .
Più in generale, se $g$ è una funzione continua strettamente monotona e $g (f (x))$ è ben definita, allora

\arg max_{x} {g (f (x))} = \arg max_{x} {f (x)} .

Voci correlate

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