Asse di un segmento

Asse r del segmento AB

In geometria euclidea l'asse di un segmento è la retta perpendicolare al segmento passante per il suo punto medio. È definito il luogo dei punti del piano che hanno uguale distanza dai due estremi del segmento.

Si può dimostrare mediante il teorema di Pitagora che un qualsiasi punto X sulla retta r è equidistante sia da A che da B, formalmente XA‾=XB‾.

Dimostrazione con il teorema di Pitagora

Si hanno le ipotesi:

  1. AM‾=BM‾;
  2. il segmento e l'asse sono ortogonali.XA‾2=AM‾2+XM‾2=BM‾2+XM‾2=XB‾2AX‾=XB‾∀X∈r

Costruzione con righello e compasso

Costruzione con righello e compasso con r=AB‾

Per costruire l'asse del segmento AB con righello e compasso si disegnano due cerchi di raggio uguale, purché sia r>12AB‾, e i cui centri sono gli estremi del segmento.

L'asse è determinato dai punti di intersezione delle due circonferenze. La retta viene determinata senza conoscere il punto medio M, perciò si può ottenere tramite intersezione tra l'asse e il segmento.

Metodo analitico

Siano sul piano cartesiano A=(xA,yA) e B=(xB,yB) le coordinate dei due estremi, allora il punto medio è M=(xM,yM)=(xA+xB2,yA+yB2) e il segmento appartiene alla retta di coefficiente angolare mAB=yB−yAxB−xa.

L'asse r è per definizione perpendicolare ad AB, perciò ha coefficiente angolare mr=−1mAB e deve passare per M, da cui si ricava l'intercetta qr=yM−mr⋅xM. Perciò l'equazione dell'asse è:y=mr⋅x+qr

Proprietà dell'asse di un segmento

In un triangolo, tutti gli assi dei lati si incontrano nel circocentro O, che coincide con il centro della circonferenza circoscritta circoscritta al triangolo e sono sempre su di essi anche i centri J dei cerchi di Johnson. Il circocentro è interno al triangolo acutangolo, sul punto medio dell'ipotenusa del triangolo rettangolo e esterno all'ottusangolo.

Gli assi dei segmenti che individuano i lati di un poligono regolare si incontrano in un punto interno al poligono che è il centro della circonferenza inscritta e della circonferenza circoscritta.

Note

  1. 1 2 Giuseppe Carichino, Definizione di asse di un segmento con formule, proprietà ed equazione, su YouMath, 1º novembre 2014. URL consultato il 15 maggio 2025.
  2. ↑ Asse di un segmento, su www.andreaminini.org. URL consultato il 15 maggio 2025.
  3. ↑ Semplici costruzioni geometriche con riga e compasso, su www.lorenzoroi.net. URL consultato il 15 maggio 2025.
  4. ↑ Redazione di YouMath, Coefficiente angolare di rette parallele o perpendicolari, su www.youmath.it. URL consultato il 16 maggio 2025 (archiviato l'11 dicembre 2023).
  5. ↑ Equazione dell'asse del segmento: formula, metodo ed esempi, su YouMath. URL consultato il 17 giugno 2025.

Collegamenti esterni

  Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica