Calotta

In geometria, si dice calotta sferica ciascuna delle parti in cui la superficie di una sfera è suddivisa da un piano secante. Se il piano secante passa per un diametro della sfera le due parti si dicono emisferi. Il volume compreso tra la calotta e il piano secante è detto segmento sferico.

Il cerchio delimitato dalla sfera e dal piano secante è detto base della calotta. Il raggio passante per il centro della base è un asse di simmetria per la calotta, e incontra la calotta stessa in un punto detto vertice; la parte di raggio compresa tra la base e il vertice è detta altezza della calotta.

Formule

Superficie

L'area della superficie della calotta sferica si ottiene dal prodotto della lunghezza della circonferenza massima della sfera a cui appartiene per la sua altezza:

S = 2 π r h,

dove $r$ e $h$ sono il raggio della sfera e l'altezza della calotta sferica. Se $Ω$ è l'angolo solido sotteso dalla calotta, la superficie si può esprimere anche come:

S = Ω r^{2} .

Se si introduce l'apertura $α$ del cono sotteso dalla calotta sferica (confrontare angolo solido) si ottengono le notevoli relazioni:

h = r (1 - \cos (\frac{α}{2})),

Ω = 2 π (1 - \cos (\frac{α}{2})) .

Volume

Il volume della calotta sferica è dato da

V = π h^{2} (r - \frac{h}{3}),

oppure da

V = \frac{π h}{6} (3 a^{2} + h^{2}) .

La relazione tra l'altezza $h$ , il raggio di base della calotta $a$ e il raggio della sfera $r$ è data da:

h = r \pm \sqrt{r^{2} - a^{2}},

r = \frac{a^{2} + h^{2}}{2 h},

dove il segno positivo e negativo della formula corrispondono alle altezze delle due calotte generate da un singolo piano secante.

Dimostrazione

Fissando un sistema di coordinate cartesiane con origine nel centro della sfera e asse $z$ passante per l'altezza $h$ della calotta, il volume è dato dall'integrale triplo dell'unità sul dominio $E = {(x, y, z) \in ℝ^{3} | r - h \leq z \leq \sqrt{r^{2} - x^{2} - y^{2}}, 0 \leq x^{2} + y^{2} \leq a^{2}}$ :

V = ∭_{E} 1 d x d y d z = \iint_{D} (\int_{z = (r - h)}^{\sqrt{r^{2} - x^{2} - y^{2}}} 1 d z) d x d y = \iint_{D} (\sqrt{r^{2} - x^{2} - y^{2}} - r + h) d x d y

dove $D = {(x, y) \in ℝ^{2} | 0 \leq x^{2} + y^{2} \leq a^{2}} .$

Passando alle coordinate polari, si ha:

T = {(ρ, θ) \in ℝ^{2} | 0 \leq ρ^{2} \leq a^{2}, 0 \leq θ \leq 2 π}

V = \iint_{T} (\sqrt{r^{2} - ρ^{2}} - r + h) ρ d ρ d θ = 2 π \int_{ρ = 0}^{a} (\sqrt{r^{2} - ρ^{2}} - r + h) ρ d ρ

Ricordando che $a = 2 \sqrt{2 r h - h^{2}}$ , si ha la tesi:

V = π h^{2} (r - \frac{h}{3}) .

Voci correlate

Altri progetti

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Collegamenti esterni

Formulario della sfera, su math.it.

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