Classe limite

In analisi matematica, la classe limite è un concetto legato a quello di sottosuccessione e limite di una successione. Si tratta dell'insieme dei valori cui è possibile far tendere una sottosuccessione di una data successione, e come tale può essere di cardinalità finita o infinita, ma non l'insieme vuoto.

Definizione

Sia ${x_{n}}_{n}$ una successione di numeri reali; si dice che $α$ è un valore limite della successione se esiste una sottosuccessione ${x_{n_{k}}}_{k}$ per cui

lim_{k \to + \infty} x_{n_{k}} = α

.

Non è necessario che la successione sia regolare (cioè convergente o divergente); infatti anche una successione irregolare ammette sempre sottosuccessioni regolari.

La classe limite della successione è l'insieme dei valori limite; cioè, se $C$ indica la classe limite di ${x_{n}}_{n}$ :

C = {α \in ℝ : \exists {x_{n_{k}}}_{k} \underset{k \to + \infty}{⟶ α}}

.

Esempi

$x_{n} = \sin \frac{n π}{2}$ ;

In questo caso

C = {- 1, 0, 1}

; infatti

{x_{n}}_{n \geq 0} = {0, 1, 0, - 1, \dots}

, quindi una sottosuccessione può constare solo dei valori

0, 1, - 1

; le sottosuccessioni banali del tipo

{x_{2 n}}_{n} = {0, 0, 0, \dots}, {x_{4 n + 1}} = {1, 1, 1, \dots}, {x_{4 n - 1}} = {- 1, - 1, - 1, \dots}

, ad esempio, ammettono come valori limite

0, 1, - 1

rispettivamente.

$x_{n} = n \sin \frac{n π}{2}$ ;

In questo caso

C = {- \infty, 0, + \infty}

; infatti

{x_{n}}_{n \geq 0} = {0, 1, 0, - 2, 0, 3, \dots}

, e una sottosuccessione deve valere definitivamente zero o in alternativa non essere limitata.

Proprietà

La classe limite di una successione non è mai vuota. Infatti, se ${x_{n}}_{n}$ è limitata, allora la sua chiusura è compatta, e quindi la successione ammette una sottosuccessione convergente (teorema di Bolzano-Weierstrass). Se invece non è limitata superiormente (o inferiormente), si può trovare una sottosuccessione del tipo ${x_{j}}_{j}$ con

x_{j} = max_{i < j} x_{i}

(o

x_{j} = min_{i < j} x_{i}

)

che ammette come limite $+ \infty$ (o $- \infty$ ).

L'intersezione tra la classe limite e l'insieme dei numeri reali (cioè la classe limite cui sono stati tolti eventualmente i punti all'infinito) è un insieme chiuso. Infatti, se $α \in ℝ$ è di accumulazione per $C \cap ℝ$ , allora esistono $α_{1}, \dots, α_{n}, \dots$ che avvicinano indefinitamente $α$ ; questi $α_{i}$ sono limiti di sottosuccessioni di ${x_{n}}$ , quindi possiamo trovare una sottosuccessione che si avvicina indefinitamente ad $α$ , usando come "paletti" i valori limite $α_{i}$ (cui possiamo avvicinarci a piacere per sottosuccessioni).

Inoltre la classe limite, intesa come sottoinsieme di $\overline{ℝ} := ℝ \cup {- \infty, + \infty}$ (il cosiddetto $ℝ$ esteso) ammette sempre massimo e minimo; infatti, se ${x_{n}}$ è illimitata (ad esempio superiormente), allora $+ \infty \in C$ , e $max C = + \infty$ ; altrimenti, se ${x_{n}}$ è limitata (ad esempio superiormente), allora lo è anche $C$ (o esisterebbe un valore limite strettamente maggiore dell'estremo superiore della successione), e poiché $C \cap ℝ$ è chiuso, esso contiene il proprio superiore, e quindi ammette massimo. Un analogo ragionamento prova che la classe limite ammette minimo.

Limite superiore e limite inferiore

Data una successione, si definisce limite superiore di tale successione il massimo della sua classe limite:

\underset{n \to + \infty}{lim sup} x_{n} = \underset{n \to + \infty}{lim^{‾}} x_{n} := max C

;

similmente si definisce il limite inferiore di tale successione il minimo della sua classe limite:

\underset{n \to + \infty}{lim inf} x_{n} = \underset{n \to + \infty}{lim_{_}} x_{n} := min C

.

È chiaro, per le argomentazioni del paragrafo precedente, che tali valori esistono sempre. In generale, essi saranno differenti (ovviamente si avrà $lim inf x_{n} \leq lim sup x_{n}$ ); se tuttavia questi valori coincidono, se cioè la classe limite consta di un solo elemento, allora tutte le sottosuccessioni convergono allo stesso valore limite. Questa è condizione necessaria e sufficiente per garantire la convergenza della successione principale, cioè:

\exists lim_{n \to + \infty} x_{n} \in \overline{ℝ} ⟺ \underset{n \to + \infty}{lim inf} x_{n} = \underset{n \to + \infty}{lim sup} x_{n} ⟺ | C | = 1

,

dove $| \cdot |$ indica la cardinalità dell'insieme.

Note

1 2 3 Soardi, P.M., pp. 111-114.

Bibliografia

Paolo Maurizio Soardi, Analisi Matematica, CittàStudi, 2007, ISBN 978-88-251-7319-2.

Voci correlate

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[soar-1] 1 2 3 Soardi, P.M., pp. 111-114.