Clotoide

Parametrizzazione

La curvatura ${\displaystyle k_{\alpha }}$ di una curva ${\displaystyle \alpha }$ con velocità unitaria è pari alla derivata dell'angolo di rotazione

${\displaystyle k_{\alpha }(s)={\frac {{\text{d}}\theta _{\alpha }(s)}{{\text{d}}s}}}$

dove l'angolo di rotazione determinato da ${\displaystyle \theta _{0}}$ è l'unica funzione differenziabile ${\displaystyle \theta _{\alpha }:[a,\,b]\to \mathbb {R} }$ tale che

${\displaystyle {\frac {\alpha \prime (t)}{||\alpha \prime (t)||}}=\left(\cos(\theta _{\alpha }(t)),\,\sin(\theta _{\alpha }(t))\right)}$

e

${\displaystyle \theta _{\alpha }(t_{0})=\theta _{0}}$

per una curva regolare ${\displaystyle \alpha (t):[a,\,b]\to \mathbb {R} ^{2}}$, con ${\displaystyle \theta _{0}\in [0,\,2\pi ]}$ tale che

${\displaystyle {\frac {\alpha \prime (t_{0})}{||\alpha \prime (t_{0})||}}=\left(\cos(\theta _{0}),\,\sin(\theta _{0})\right)}$

per un valore ${\displaystyle t_{0}\in [a,\,b]}$ fissato.

Partendo dall'equazione naturale della clotoide

${\displaystyle k=-{\frac {s^{n}}{a^{n+1}}}}$

integrando si ha

${\displaystyle \theta (s)=-{\frac {s^{n+1}}{(n+1)a^{n+1}}}}$

da cui, per la definizione di angolo di rotazione

${\displaystyle \alpha \prime (s)=\left(\cos \left(-{\frac {s^{n+1}}{(n+1)a^{n+1}}}\right),\,\sin \left(-{\frac {s^{n+1}}{(n+1)a^{n+1}}}\right)\right)}$.

Applicando il teorema fondamentale del calcolo integrale e un cambio di variabile per portare all'esterno il parametro a, si trova una parametrizzazione della clotoide generalizzata (al netto di possibili rototraslazioni):

${\displaystyle \left(x(t),\,y(t)\right)=a^{n+1}\,\left(\int _{0}^{t}\cos \left({\frac {u^{n+1}}{n+1}}\right){\text{d}}u,\,\int _{0}^{t}\sin \left({\frac {u^{n+1}}{n+1}}\right){\text{d}}u\right)}$.

Per ${\displaystyle n=1}$ si ha la clotoide usuale, la cui parametrizzazione è espressa rispetto agli integrali di Fresnel:

${\displaystyle \left(x(t),\,y(t)\right)=a\,\left(\int _{0}^{t}\cos \left({\frac {u^{2}}{2}}\right){\text{d}}u,\,\int _{0}^{t}\sin \left({\frac {u^{2}}{2}}\right){\text{d}}u\right)}$.