Completezza (statistica)

In statistica la completezza è una proprietà legata ad una misura di probabilità, tale per cui è possibile stimare tutti i parametri appartenenti a tale distribuzione tramite delle statistiche date ed assicura che le distribuzioni in corrispondenza di parametri diversi saranno distinte.

La completezza è di notevole rilievo per la ricerca di stimatori non distorti a varianza minima analizzata nel teorema di Lehmann-Scheffé.

Definizione

Data una misura di probabilità $P_{\underline{X}} (x)$ avente legge di probabilità:

$P_{\underline{X}} = {{P_{\underline{X}}}^{\underline{θ}}; \underline{θ} \in H \subset ℝ^{m}}$

Diremo che il vettore $\underline{X}$ è completo rispetto al parametro $\underline{θ}$ se $\forall g$ funzione misurabile e $\forall \underline{θ} \in H$ si ha che se:

$E_{θ} [g (\underline{X})] = 0$ implica che $g (\underline{X}) = 0$ quasi certamente, ovvero $P r o b_{θ} (g (\underline{X}) = 0) = 1$

Esempio

Sia $X \in (0, + \infty)$ con $X \sim U (0, θ)$ la distribuzione continua uniforme e $θ \in (0, + \infty)$

Data $g$ una funzione misurabile ho che:

$E_{θ} [g (X)] = 0 \forall θ \in H$ implica:

$\int_{0}^{θ} \frac{g (X)}{θ} d x = 0$

Perciò semplificando ottengo:

$\int_{0}^{θ} g (X) d x = 0$

Da cui:

$\partial θ \int_{0}^{θ} g (X) d x = 0$

E per il teorema fondamentale del calcolo integrale ottengo:

$g (θ) = 0 \forall θ \in (0, + \infty)$

Perciò $g (X) = 0$ quasi certamente

Proprietà

Data una statistica $T (\underline{X})$ ed una biezione $ϕ$ indipendente da $θ$ allora $ϕ \circ T (\underline{X})$ è anch'essa una statistica completa per $θ$

Famiglia esponenziale

Date variabili aleatorie $X_{1}, ... X_{n}$ indipendenti ed identicamente distribuite, diremo che definita $f (x, θ)$ la funzione di densità, essa apparterrà alla famiglia esponenziale con parametro $θ \in H$ se può essere scritta in questo modo:

$f (x, θ) = C (θ) e^{Q (θ) T (x)} h (x)$

Con $C (θ) > 0 h (x) > 0$ e con supporto indipendente da $θ$

Se vale tale proprietà allora:

$T (X)$ e $\sum_{i = 1}^{n} T (X_{i})$ sono variabili aleatorie complete se $H$ contiene un intervallo non degenere

Teorema di Lehmann-Scheffé

Dato un campione aleatorio $X_{1}, ..., X_{n}$ indipendente ed identicamente distribuito ed un parametro $θ \in H \subset R$

Data una statistica $T (X)$ che è sufficiente e completa per $θ$ e dato uno stimatore del parametro $θ$ :

$V (T (x))$ che è non distorto $\forall θ \in H$

Allora $V (T (X))$ è l'unico stimatore non distorto a minima varianza di $θ$

Bibliografia

Capasso Morale, Una guida allo studio della probabilità e della statistica matematica II, ed. 2013 p. 340-347 ISBN 978-88-7488-628-9

Voci correlate

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