Condizione di Samuelson

La condizione di Samuelson, formulata da Paul Samuelson, dice che una produzione ottimale di bene pubblico puro esige un'uguaglianza tra la somma dei tassi marginali di sostituzione e il tasso marginale di trasformazione dei prodotti.

Formalizzazione matematica

Sia ${\displaystyle q_{o}}$ il bene pubblico e ${\displaystyle q_{j}}$ (${\displaystyle j=1,2,\ldots ,m}$) i beni privati. La funzione di produzione sotto forma implicita è data dall'espressione seguente: ${\displaystyle \varphi ({\hat {q}}_{o},{\hat {q}}_{1},{\hat {q}}_{2},\ldots ,{\hat {q}}_{m})=0}$ dove ${\displaystyle {\hat {q}}_{j}}$ è la quantità prodotta del bene j.

Le funzioni di utilità sono:

${\displaystyle u_{i}(q_{o},q_{i1},q_{i2},\ldots ,q_{im})\qquad i=1,2,\ldots ,h}$

dove ${\displaystyle q_{ij}}$ è la quantità del bene j consumata dall'individuo i. Non c'è l'indice i per il bene pubblico poiché la quantità consumata è la stessa per tutti gli individui. La quantità consumata dei beni privati dipende invece dalle preferenze e dal reddito di ogni individuo.

Un ottimo paretiano può essere ottenuto massimizzando l'utilità del primo consumatore sotto i vincoli esistenti tra produzione e consumo. La lagrangiana è:

${\displaystyle L=u_{1}(q_{o},q_{11},q_{12},\ldots ,q_{1m})+\sum _{i=2}^{h}\lambda _{i}(u_{i}-u_{i}^{o})+\sigma \varphi ({\hat {q}}_{o},{\hat {q}}_{1},\ldots ,{\hat {q}}_{m})+\mu _{o}(q_{o}^{o}+{\hat {q}}_{o}-q_{o})+\sum _{j=1}^{m}\mu _{j}(q_{j}^{o}+{\hat {q}}_{j}-\sum _{\alpha =1}^{h}q_{\alpha j})}$

dove ${\displaystyle \lambda _{i},\sigma ,\mu _{j}}$ sono i moltiplicatori di Lagrange e ${\displaystyle q_{j}^{o}}$ lo stock del bene j.

Le condizioni di primo ordine sono:

${\displaystyle (1)\qquad {\frac {\partial L}{\partial q_{o}}}=\sum _{\alpha =1}^{h}\lambda _{\alpha }{\frac {\partial u_{\alpha }}{\partial q_{o}}}-\mu _{o}=0\qquad (\lambda _{1}=1)}$

${\displaystyle (2)\qquad {\frac {\partial L}{\partial q_{\alpha j}}}=\lambda _{\alpha }{\frac {\partial u_{\alpha }}{\partial q_{\alpha j}}}-\mu _{j}=0\qquad \qquad \quad \alpha =1,2,\ldots ,h\quad$ ;\quad j=1,2,\ldots ,m}

${\displaystyle (3)\qquad {\frac {\partial L}{\partial {\hat {q}}_{s}}}=\sigma {\frac {\partial \varphi }{\partial {\hat {q}}_{s}}}+\mu _{s}=0\qquad \qquad \qquad s=0,1,\ldots ,m}$

${\displaystyle (4)\qquad {\frac {\partial L}{\partial \lambda _{i}}}=u_{i}-u_{i}^{o}=0\qquad \qquad \qquad \quad \;i=2,3,\ldots ,h}$

${\displaystyle (5)\qquad {\frac {\partial L}{\partial \sigma }}=\varphi ({\hat {q}}_{o},{\hat {q}}_{1},{\hat {q}}_{2},\ldots ,{\hat {q}}_{m})=0}$

${\displaystyle (6)\qquad {\frac {\partial L}{\partial \mu _{o}}}=q_{o}^{o}+{\hat {q}}_{o}-q_{o}=0}$

${\displaystyle (7)\qquad {\frac {\partial L}{\partial \mu _{j}}}=q_{j}^{o}+{\hat {q}}_{j}-\sum _{\alpha =1}^{h}q_{\alpha j}=0}$

Eliminando i moltiplicatori di Lagrange si ottiene:

${\displaystyle \sum _{\alpha =1}^{h}{\frac {\frac {\partial u_{\alpha }}{\partial q_{o}}}{\frac {\partial u_{\alpha }}{\partial q_{\alpha j}}}}={\frac {\varphi _{o}}{\varphi _{j}}}}$

${\displaystyle {\frac {\frac {\partial u_{\alpha }}{\partial q_{\alpha j}}}{\frac {\partial u_{\alpha }}{\partial q_{\alpha s}}}}={\frac {\varphi _{j}}{\varphi _{s}}}}$

Prendendo le trè quantità consumate ${\displaystyle q_{o}}$, ${\displaystyle q_{j}}$ e ${\displaystyle q_{s}}$, si può scrivere:

${\displaystyle \sum _{\alpha =1}^{h}TMS_{oj}^{\alpha }=TTP_{oj}}$

${\displaystyle TMS_{js}^{\alpha }=TTP_{js}}$

La seconda relazione, relativa ai beni privati j e s, è identica a quella ottenuta nell'ottimo paretiano classico. I tassi marginali di sostituzione (TMS) devono essere uguali ai tassi marginali di trasformazione dei prodotti (TTP). La prima relazione è la condizione di ottimalità per il bene pubblico. La somma dei tassi marginali di sostituzione (tra il bene pubblico e un qualunque bene privato) di tutti i consumatori deve essere uguali al tasso marginale di trasformazione dei prodotti.

Bibliografia

• Michael Pickhardt: Fifty Years after Samuelson's The Pure Theory of Public Expenditure: What are we Left With? In: Journal of the History of Economic Thought. 28, Nr. 4, 2006, pp. 439–460.
• Agnar Sandmo: Public Goods. In: Steven N. Durlauf and Lawrence E. Blume (Eds.): The New Palgrave Dictionary of Economics. Palgrave Macmillan, Internet http://www.dictionaryofeconomics.com/article?id=pde2008_P000245&edition=current#sec1 (Online-edition).
• Paul Samuelson: The Pure Theory of Public Expenditure. In: The Review of Economics and Statistics. 36, Nr. 4, 1954, pp. 387–389.

Voci correlate

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