Costante Omega

Costante Omega
Simbolo	Ω
Valore	0,5671432904097838729999686622... ; (sequenza A030178 dell'OEIS)
Frazione continua	[0; 1, 1, 3, 4, 2, 10, 4, 1, 1, 1, 1, 2, 7, ...] ; (sequenza A019474 dell'OEIS)
Insieme	numeri trascendenti
Costanti correlate	e

La costante Omega è una costante matematica definita da

Ω \cdot e^{Ω} = 1

e la cui espansione decimale inizia con

Ω = 0, 5671432904097838729999686622...

È il valore di W(1), dove W è la funzione W di Lambert o funzione omega (da cui il nome della costante).

Ω può essere anche definito come la soluzione di

e^{- Ω} = Ω

o anche di

\ln (1 / Ω) = Ω .

La costante $Ω$ può essere calcolata attraverso un metodo iterativo: partendo da una stima iniziale $Ω_{0}$ e considerando la successione

Ω_{n + 1} = e^{- Ω_{n}} .

che avrà limite $Ω$ quando $n \to \infty$ . La convergenza di questa iterazione avviene poiché $Ω$ è un punto fisso attrattivo della funzione $e^{- x}$ .

A ogni modo è molto più efficiente utilizzare l'iterazione

Ω_{n + 1} = \frac{1 + Ω_{n}}{1 + e^{Ω_{n}}},

poiché la funzione

f (x) = \frac{1 + x}{1 + e^{x}},

ha il medesimo punto fisso ma ha derivata nulla nel suddetto punto e quindi la convergenza è quadratica (il numero di cifre corrette raddoppia approssimativamente a ogni iterazione).

Un'identità tramite integrale improprio dovuta a Victor Adamchik è la seguente:

Ω = \frac{1}{\int_{- \infty}^{+ \infty} \frac{d t}{(e^{t} - t)^{2} + π^{2}}} - 1.

Irrazionalità e trascendenza

La costante $Ω$ è un numero trascendente.

Per dimostrare la sua irrazionalità è possibile servirsi del fatto che e è trascendente: se $Ω = \frac{p}{q}$ (con p e q interi), allora

1 = \frac{p}{q} e^{p / q}

cioè

e = \sqrt[p]{\frac{q^{q}}{p^{q}}}

e quindi e sarebbe algebrico, il che è assurdo.

La trascendenza di $Ω$ è una conseguenza del teorema di Lindemann-Weierstrass: se fosse algebrico, il numero $e^{Ω}$ sarebbe trascendente, così come $Ω \cdot e^{Ω}$ , il che è assurdo perché questa quantità è uguale a 1 per definizione. Quindi $Ω$ è trascendente.

Voci correlate

Funzione W di Lambert

Collegamenti esterni

(EN) Eric W. Weisstein, Omega Constant, su MathWorld, Wolfram Research.

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Costante Omega
Simbolo	Ω
Valore	0,5671432904097838729999686622... (sequenza A030178 dell'OEIS)
Frazione continua	[0; 1, 1, 3, 4, 2, 10, 4, 1, 1, 1, 1, 2, 7, ...] (sequenza A019474 dell'OEIS)
Insieme	numeri trascendenti
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