Decadimento audioattivo

Il decadimento audioattivo è un gioco matematico, studiato in modo approfondito da John Conway, che consiste nel prendere una stringa qualunque di numeri e trasformarla in un'altra secondo la regola:

Se si trovano n cifre adiacenti uguali ad x, al loro posto si sostituisce nx.

Esempio: se si ha una stringa fatta così:

222

al suo posto si sostituisce 32 (sono tre cifre "due"). Al passo successivo, alla stringa 32 si sostituisce 1312 (un "tre" e un "due"). Al passo dopo, la stringa diventa 11131112, e così via. Questo procedimento porta alla costruzione di stringhe composte da determinate sequenze di base, o "atomi", e ha una serie di teoremi e proprietà notevoli.

Gli atomi

Ci sono 92 atomi (che, per questa particolarità sono stati chiamati con i nomi dei 92 elementi chimici, da Idrogeno a Uranio), ed esiste un teorema (il teorema cosmologico di Conway) che afferma che qualunque sequenza di numeri decade, dopo un certo tempo, in una stringa composta solamente dai 92 atomi e da due "isotopi" transuranici (chiamati Nettunio e Plutonio).

Nella seguente tabella sono elencati i 92 atomi: in prima colonna si trova il numero atomico, in seconda colonna il simbolo, in terza colonna la sequenza numerica relativa. Ogni atomo decade nel successivo (per esempio, U decade in Pa). Se nella sequenza numerica sono presenti anche altri simboli atomici, significa che l'atomo precedente decade in più di un atomo (per esempio, osservando le righe 86 e 85 si vede che Rn decade in Ho più At; la sequenza relativa ad Ho si trova alla riga 67, mentre la sequenza numerica presente nella riga 85 è relativa ad At).

Z	Elemento	Proviene da	Si scompone in	Stringa	Lunghezza
1	Idrogeno	7 elementi: H, He, Sc, Ga, Zr, Ce, Ta	1 elemento: H (stabile)	22	2
2	Elio	1 elemento: Li	5 elementi: Hf, Pa, H, Ca, Li	13112221133211322112211213322112	32
3	Litio	2 elementi: He, Be	1 elemento: He	312211322212221121123222112	27
4	Berillio	1 elemento: B	3 elementi: Ge, Ca, Li	111312211312113221133211322112211213322112	42
5	Boro	1 elemento: C	1 elemento: Be	1321132122211322212221121123222112	34
6	Carbonio	1 elemento: N	1 elemento: B	3113112211322112211213322112	28
7	Azoto	1 elemento: O	1 elemento: C	111312212221121123222112	24
8	Ossigeno	1 elemento: F	1 elemento: N	132112211213322112	18
9	Fluoro	1 elemento: Ne	1 elemento: O	31121123222112	14
10	Neon	1 elemento: Na	1 elemento: F	111213322112	12
11	Sodio	2 elementi: Mg, As	1 elemento: Ne	123222112	9
12	Magnesio	1 elemento: Al	2 elementi: Pm, Na	3113322112	10
13	Alluminio	1 elemento: Si	1 elemento: Mg	1113222112	10
14	Silicio	2 elementi: P, Mn	1 elemento: Al	1322112	7
15	Fosforo	1 elemento: S	2 elementi: Ho, Si	311311222112	12
16	Zolfo	1 elemento: Cl	1 elemento: P	1113122112	10
17	Cloro	1 elemento: Ar	1 elemento: S	132112	6
18	Argon	1 elemento: K	1 elemento: Cl	3112	4
19	Potassio	1 elemento: Ca	1 elemento: Ar	1112	4
20	Calcio	13 elementi: He, Be, Sc, Ga (2 volte), Zr, Ru, Te, Ce, Sm, Gd, Tm, Ta, Re	1 elemento: K	12	2
21	Scandio	1 elemento: Ti	5 elementi: Ho, Pa, H, Ca, Co	3113112221133112	16
22	Titanio	1 elemento: V	1 elemento: Sc	11131221131112	14
23	Vanadio	1 elemento: Cr	1 elemento: Ti	13211312	8
24	Cromo	1 elemento: Mn	1 elemento: V	31132	5
25	Manganese	1 elemento: Fe	2 elementi: Cr, Si	111311222112	12
26	Ferro	1 elemento: Co	1 elemento: Mn	13122112	8
27	Cobalto	5 elementi: Sc, Ni, Ce, Tm, Gd	1 elemento: Fe	32112	5
28	Nichel	1 elemento: Cu	2 elementi: Zn, Co	11133112	8
29	Rame	1 elemento: Zn	1 elemento: Ni	131112	6
30	Zinco	3 elementi: Ni, Ga, Sm	1 elemento: Cu	312	3
31	Gallio	1 elemento: Ge	6 elementi: Eu, Ca, Ac, H, Ca, Zn	13221133122211332	17
32	Germanio	3 elementi: Be, As, Re	2 elementi: Ho, Ga	31131122211311122113222	23
33	Arsenico	1 elemento: Se	2 elementi: Ge, Na	11131221131211322113322112	26
34	Selenio	1 elemento: Br	1 elemento: As	13211321222113222112	20
35	Bromo	1 elemento: Kr	1 elemento: Se	3113112211322112	16
36	Cripton	1 elemento: Rb	1 elemento: Br	11131221222112	14
37	Rubidio	1 elemento: Sr	1 elemento: Kr	1321122112	10
38	Stronzio	1 elemento: Y	1 elemento: Rb	3112112	7
39	Ittrio	1 elemento: Zr	2 elementi: Sr, U	1112133	7
40	Zirconio	1 elemento: Nb	4 elementi: Y, H, Ca, Tc	12322211331222113112211	23
41	Niobio	1 elemento: Mo	2 elementi: Er, Zr	11131221133221131112211312221	29
42	Molibdeno	1 elemento: Tc	1 elemento: Nb	13211322211312113211	20
43	Tecnezio	2 elementi: Zr, Ru	1 elemento: Mo	311322113212221	15
44	Rutenio	1 elemento: Rh	3 elementi: Eu, Ca, Tc	132211331222113112211	21
45	Rodio	1 elemento: Pd	2 elementi: Ho, Ru	311311222113111221131221	24
46	Palladio	1 elemento: Ag	1 elemento: Rh	111312211312113211	18
47	Argento	1 elemento: Cd	1 elemento: Pd	132113212221	12
48	Cadmio	1 elemento: In	1 elemento: Ag	3113112211	10
49	Indio	1 elemento: Sn	1 elemento: Cd	11131221	8
50	Stagno	1 elemento: Sb	1 elemento: In	13211	5
51	Antimonio	1 elemento: Te	2 elementi: Pm, Sn	3112221	7
52	Tellurio	1 elemento: I	3 elementi: Eu, Ca, Sb	1322113312211	13
53	Iodio	1 elemento: Xe	2 elementi: Ho, Te	311311222113111221	18
54	Xenon	1 elemento: Cs	1 elemento: I	11131221131211	14
55	Cesio	1 elemento: Ba	1 elemento: Xe	13211321	8
56	Bario	1 elemento: La	1 elemento: Cs	311311	6
57	Lantanio	1 elemento: Ce	1 elemento: Ba	11131	5
58	Cerio	1 elemento: Pr	4 elementi: La, H, Ca, Co	1321133112	10
59	Praseodimio	1 elemento: Nd	1 elemento: Ce	31131112	8
60	Neodimio	1 elemento: Pm	1 elemento: Pr	111312	6
61	Promezio	5 elementi: Mg, Sb, Sm, Er, Bi	1 elemento: Nd	132	3
62	Samario	1 elemento: Eu	3 elementi: Pm, Ca, Zn	311332	6
63	Europio	4 elementi: Ga, Ru, Te, Gd	1 elemento: Sm	1113222	7
64	Gadolinio	1 elemento: Tb	3 elementi: Eu, Ca, Co	13221133112	11
65	Terbio	1 elemento: Dy	2 elementi: Ho, Gd	3113112221131112	16
66	Disprosio	1 elemento: Ho	1 elemento: Tb	111312211312	12
67	Olmio	8 elementi: P, Sc, Ge, Rh, I, Tb, Er, Rn	1 elemento: Dy	1321132	7
68	Erbio	2 elementi: Nb, Tm	2 elementi: Ho, Pm	311311222	9
69	Tulio	1 elemento: Yb	3 elementi: Er, Ca, Co	11131221133112	14
70	Itterbio	1 elemento: Lu	1 elemento: Tm	1321131112	10
71	Lutezio	1 elemento: Hf	1 elemento: Yb	311312	6
72	Afnio	2 elementi: He, Ta	1 elemento: Lu	11132	5
73	Tantalio	1 elemento: W	5 elementi: Hf, Pa, H, Ca, W	13112221133211322112211213322113	32
74	Wolframio	2 elementi: Ta, Re	1 elemento: Ta	312211322212221121123222113	27
75	Renio	1 elemento: Os	3 elementi: Ge, Ca, W	111312211312113221133211322112211213322113	42
76	Osmio	1 elemento: Ir	1 elemento: Re	1321132122211322212221121123222113	34
77	Iridio	1 elemento: Pt	1 elemento: Os	3113112211322112211213322113	28
78	Platino	1 elemento: Au	1 elemento: Ir	111312212221121123222113	24
79	Oro	1 elemento: Hg	1 elemento: Pt	132112211213322113	18
80	Mercurio	1 elemento: Tl	1 elemento: Au	31121123222113	14
81	Tallio	1 elemento: Pb	1 elemento: Hg	111213322113	12
82	Piombo	1 elemento: Bi	1 elemento: Tl	123222113	9
83	Bismuto	1 elemento: Po	2 elementi: Pm, Pb	3113322113	10
84	Polonio	1 elemento: At	1 elemento: Bi	1113222113	10
85	Astato	1 elemento: Rn	1 elemento: Po	1322113	7
86	Radon	1 elemento: Fr	2 elementi: Ho, At	311311222113	12
87	Francio	1 elemento: Ra	1 elemento: Rn	1113122113	10
88	Radio	1 elemento: Ac	1 elemento: Fr	132113	6
89	Attinio	2 elementi: Ga, Th	1 elemento: Ra	3113	4
90	Torio	1 elemento: Pa	1 elemento: Ac	1113	4
91	Protoattinio	4 elementi: He, Sc, Ta, U	1 elemento: Th	13	2
92	Uranio	1 elemento: Y	1 elemento: Pa	3	1

Si noti che l'Idrogeno decade in sé stesso. Alcune curiosità: l'elemento con la sequenza più breve è l'Uranio (una cifra), mentre quelli con la sequenza più lunga sono il 4 e il 75 (quarantadue cifre).

Gli elementi transuranici

La legge del decadimento audioattivo non consente la formazione di cifre diverse da 1, 2 e 3, a meno che esse non siano già presenti all'inizio. Se fin dall'inizio è presente un numero maggiore di 3, questo sarà sempre presente durante il decadimento, dando origine a elementi contenenti solo le cifre 1, 2, 3 e a una nuova coppia di elementi, chiamati transuranici.

Il Plutonio corrisponde a una stringa di questo tipo:

Pu_x = 31221132221222112112322211x

dove con x si intende qualunque cifra maggiore di 3.

Il Plutonio decade nel Nettunio, che è così definito:

Np_x = 1311222113321132211221121332211x

A sua volta, il Nettunio decade in un composto di elementi "stabili" e Plutonio, e precisamente in Hf.Pa.H.Ca.Pu_x

Il teorema cosmologico di Conway

Conway e Richard Parker dimostrarono che qualunque stringa, dopo un certo numero N di iterazioni, decade in un composto di elementi comuni e transuranici. In seguito Mike Guy mostrò che il valore N = 24 è il valore minimo accettabile. Entrambe le dimostrazioni, però, sono andate perdute.

Successivamente, Shalos B. Ekhad e Doron Zeilberger (Zeilberger è un essere umano ed Ekhad è il suo computer, regolarmente accreditato come coautore dell'articolo) hanno ridimostrato il teorema cosmologico facendo uso di un programma Maple per computer, e trovando per N il valore N = 29. Infine R.A. Litherland ha scritto un nuovo programma per computer, utilizzando tecniche diverse da Ekhad e Zeilberger, che ha permesso di affermare che il valore N = 24 è corretto.

Non è possibile scendere al di sotto di questo valore a causa di un controesempio fornito da Guy (e migliorato da Litherland eliminando le prime due cifre), il composto denominato Thuselum, che decade in 24 passi:

0: 333222112
1: 33322112
2: 33222112
3: 23322112
4: 1223222112
5: 112213322112
6: 21221123222112
7: 121122211213322112
8: 111.H.13221121123222112
9: 31 & 1113222112211213322112
10: 1311 & 311332212221121123222112
11: 111321 & Pm.Ca.32211322112211213322112
12: 31131211 & 1322211322212221121123222112
13: 132113111221 & 11133221133211322112211213322112
14: 1113122113312211 & 3123222.Ca.Li
15: Er.Ca.Sb & 1311121332
16: 11133112112.Zn
17: Zn.321122112
18: 131221222112
19: 1113112211322112
20: 311321222113222112
21: 1321131211322113322112
22: 111312211311122113222.Na
23: 3113112221133122211332
24: Ho.Pa.H.Ca.Ac.H.Ca.Zn

Il composto originale di Conway, da lui chiamato Methuselum, è invece il seguente:

0: 22333222112
1: 2233322112
2: 2233222112
3: 2223322112
4: 3223222112
5: 132213322112
6: 1113221123222112
7: 311322211213322112
8: 1321133221121123222112
9: La.H.123222112211213322112
10: 11121332212221121123222112
11: Sr.32211322112211213322112
12: 1322211322212221121123222112
13: 11133221133211322112211213322112
14: 3123222.Ca.Li
15: 1311121332
16: 11133112112.Zn
17: Zn.321122112
18: 131221222112
19: 1113112211322112
20: 311321222113222112
21: 1321131211322113322112
22: 111312211311122113222.Na
23: 3113112221133122211332
24: Ho.Pa.H.Ca.Ac.H.Ca.Zn

La costante di Conway

Il numero di cifre nell'n-esima stringa è una quantità che cresce al variare di n. Questa quantità è proporzionale al numero $λ^{n}$ , dove $λ$ = 1.3035772690342963912570991121525518907307025046594... è chiamata costante di Conway ed è l'unica radice reale positiva del polinomio

x^{71} - x^{69} - 2 x^{68} - x^{67} + 2 x^{66} + 2 x^{65} + x^{64} - x^{63} - x^{62} - x^{61} - x^{60} - x^{59} +

2 x^{58} + 5 x^{57} + 3 x^{56} - 2 x^{55} - 10 x^{54} - 3 x^{53} - 2 x^{52} + 6 x^{51} + 6 x^{50} + x^{49} + 9 x^{48} - 3 x^{47} -

7 x^{46} - 8 x^{45} - 8 x^{44} + 10 x^{43} + 6 x^{42} + 8 x^{41} - 5 x^{40} - 12 x^{39} + 7 x^{38} - 7 x^{37} + 7 x^{36} + x^{35} -

3 x^{34} + 10 x^{33} + x^{32} - 6 x^{31} - 2 x^{30} - 10 x^{29} - 3 x^{28} + 2 x^{27} + 9 x^{26} - 3 x^{25} + 14 x^{24} - 8 x^{23} -

7 x^{21} + 9 x^{20} + 3 x^{19} - 4 x^{18} - 10 x^{17} - 7 x^{16} + 12 x^{15} + 7 x^{14} + 2 x^{13} - 12 x^{12} - 4 x^{11} -

2 x^{10} + 5 x^{9} + x^{7} - 7 x^{6} + 7 x^{5} - 4 x^{4} + 12 x^{3} - 6 x^{2} + 3 x - 6 = 0.

Collegamenti esterni

(EN) Sito internet di Zeilberger, su math.rutgers.edu.
(EN) Il teorema cosmologico su MathWorld, su mathworld.wolfram.com.
(EN) La dimostrazione di Ekhad e Zeilberger, su math.temple.edu.
(EN) La dimostrazione di Litherland, su math.lsu.edu. URL consultato il 26 dicembre 2005 (archiviato dall'url originale il 31 agosto 2005).

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