Derivata esterna

In geometria differenziale, la derivata esterna estende il concetto di differenziale di una funzione a forme differenziali di ordine maggiore. La forma attualmente usata della derivata esterna è dovuta ad Élie Cartan.

Definizione

La derivata esterna di una forma differenziale di grado $k$ è una forma differenziale di grado $k + 1$ .

Derivata esterna di una funzione

Sia $f$ una funzione liscia (cioè una 0-forma). La derivata esterna di $f$ è il differenziale $d f$ di $f$ , ovvero l'unica uno-forma tale che per ogni campo vettoriale $X$ si abbia $d f (X) = X f$ , dove $X f$ è la derivata direzionale di $f$ in direzione $X$ .

Derivata esterna di una k-forma

La derivata esterna è definita come l'unica trasformazione lineare a valori reali che mappa k-forme in (k+1)-forme tale da soddisfare le seguenti proprietà:

$d f$ è il differenziale di $f$ per $f$ funzione liscia.
$d (d f) = 0$ per ogni funzione liscia $f$ .
$d (α \land β) = d α \land β + (- 1)^{p} α \land d β$ , con $α$ una p-forma.

La seconda proprietà vale in un contesto più generale, poiché $d (d α) = 0$ per ogni k-forma $α$ , mentre la terza implica, come caso particolare, che se $f$ è una funzione e $α$ una k-forma allora $d (f α) = d f \land α + f \land d α$ poiché le funzioni sono forme di grado zero.

Derivata esterna in coordinate locali

In un sistema di coordinate locale $(x^{1}, \dots, x^{n})$ si considerino i differenziali $(d x^{1}, \dots, d x^{n})$ , che costituiscono un insieme di uno-forme. Dato un insieme di indici $I = (i_{1}, \dots, i_{k})$ , con $1 \leq i_{p} \leq n$ e $1 \leq p \leq k$ , la derivata esterna di una k-forma:

ω = f_{I} d x^{I} = f_{i_{1}, i_{2} \dots i_{k}} d x^{i_{1}} \land d x^{i_{2}} \land \dots \land d x^{i_{k}}

su $ℝ^{n}$ è definita nel modo seguente:

d ω = \sum_{i = 1}^{n} \frac{\partial f_{I}}{\partial x^{i}} d x^{i} \land d x^{I}

Per una generica k-forma:

ω = \sum_{I} f_{I} d x_{I}

con $I = (i_{1}, \dots, i_{n})$ , la definizione è estesa per linearità.

La definizione mostrata in coordinate locali segue dalla definizione precedente. Infatti, sia:

ω = f_{I} d x_{i_{1}} \land \dots \land d x_{i_{k}}

allora si ha:

d ω = d (f_{I} d x^{i_{1}} \land \dots \land d x^{i_{k}})

= d f_{I} \land (d x^{i_{1}} \land \dots \land d x^{i_{k}}) + f_{I} d (d x^{i_{1}} \land \dots \land d x^{i_{k}})

= d f_{I} \land d x^{i_{1}} \land \dots \land d x^{i_{k}} + \sum_{p = 1}^{k} (- 1)^{(p - 1)} f_{I} d x^{i_{1}} \land \dots \land d x^{i_{p - 1}} \land d^{2} x^{i_{p}} \land d x^{i_{p + 1}} \land \dots \land d x^{i_{k}}

= d f_{I} \land d x^{i_{1}} \land \dots \land d x^{i_{k}}

= \sum_{i = 1}^{n} \frac{\partial f_{I}}{\partial x^{i}} d x^{i} \land d x^{i_{1}} \land \dots \land d x^{i_{k}}

dove $f_{I}$ è interpretata come una zero-forma, alla quale sono applicate le proprietà della derivata esterna.

Formula invariante

Si può trovare una formula esplicita per la derivata esterna di una k-forma $ω$ quando si considerano k+1 campi vettoriali lisci $V_{0}, ..., V_{k}$ :

d ω (V_{0}, ..., V_{k}) = \sum_{i} (- 1)^{i} V_{i} (ω (V_{0}, \dots, {\hat{V}}_{i}, \dots, V_{k}))

+ \sum_{i < j} (- 1)^{i + j} ω ([V_{i}, V_{j}], V_{0}, \dots, {\hat{V}}_{i}, \dots, {\hat{V}}_{j}, \dots, V_{k})

dove $[V_{i}, V_{j}]$ sono le parentesi di Lie, e il cappello denota l'omissione di un dato elemento:

ω (V_{1}, \dots, {\hat{V}}_{i}, \dots, V_{k}) = ω (V_{1}, \dots, V_{i - 1}, V_{i + 1}, \dots, V_{k})

In particolare, per 1-forme si ha:

d ω (X, Y) = X ω (Y) - Y ω (X) - ω ([X, Y])

dove $X$ e $Y$ sono campi vettoriali.

La derivata esterna nel calcolo vettoriale

Diversi operatori utilizzati nel calcolo vettoriale sono casi speciali della nozione di differenziazione esterna, o ne hanno una stretta relazione.

Gradiente

Una funzione liscia $f : ℝ^{n} \to ℝ$ è una 0-forma. La sua derivata esterna è la 1-forma:

d f = \sum_{i = 1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x^{i}} d x^{i} = ⟨ \nabla f, \cdot ⟩

In altre parole, la forma $d f$ agisce su ogni campo vettoriale $V$ restituendo in ogni punto il prodotto scalare di $V$ con il gradiente $\nabla f$ . La 1-forma $d f$ è una sezione del fibrato cotangente che produce un'approssimazione lineare locale di $f$ nello spazio cotangente ad ogni punto.

Divergenza

Un campo vettoriale $V = (v_{1}, ..., v_{n})$ su $ℝ^{n}$ possiede una corrispondente (n-1)-forma:

ω_{V} = v_{1} (d x^{2} \land d x^{3} \land \dots \land d x^{n}) - v_{2} (d x^{1} \land d x^{3} \dots \land d x^{n}) + \dots + (- 1)^{n - 1} v_{n} (d x^{1} \land \dots \land d x^{n - 1})

= \sum_{p = 1}^{n} (- 1)^{(p - 1)} v_{p} (d x^{1} \land \dots \land d x^{p - 1} \land \hat{d x^{p}} \land d x^{p + 1} \land \dots \land d x^{n})

dove $\hat{d x^{p}}$ denota l'omissione di tale elemento. L'integrale di $ω_{V}$ su un'ipersuperficie è il flusso di $V$ attraverso tale ipersuperficie.

La derivata esterna di tale (n-1)-forma è la n-forma:

d ω_{V} = div (V) (d x^{1} \land d x^{2} \land \dots \land d x^{n})

Rotore

Un campo vettoriale $V$ su $ℝ^{n}$ possiede una corrispondente 1-forma:

η_{V} = v_{1} d x^{1} + v_{2} d x^{2} + \dots + v_{n} d x^{n}

Localmente, $η_{V}$ è il prodotto interno con $V$ , e l'integrale di $η_{V}$ lungo un cammino è il lavoro meccanico compiuto "contro" $- V$ lungo il cammino. Se n=3, la derivata esterna di $η_{V}$ è la 2-forma:

d η_{V} = ω_{rot (V)}

Note

1 2 Todd Rowland, MathWorld - Exterior Derivative, su mathworld.wolfram.com, 2012.

Bibliografia

Flanders, Harley, Differential forms with applications to the physical sciences, New York, Dover Publications, 1989, p. 20, ISBN 0-486-66169-5.
Ramanan, S., Global calculus, Providence, Rhode Island, American Mathematical Society, 2005, p. 54, ISBN 0-8218-3702-8.
Conlon, Lawrence, Differentiable manifolds, Basel, Switzerland, Birkhäuser, 2001, p. 239, ISBN 0-8176-4134-3.
Darling, R. W. R., Differential forms and connections, Cambridge, UK, Cambridge University Press, 1994, p. 35, ISBN 0-521-46800-0.

Voci correlate

Collegamenti esterni

(EN) Eric W. Weisstein, Exterior Derivative, su MathWorld, Wolfram Research.

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