Equazione binomia

Le equazioni binomie sono equazioni algebriche riconducibili alla forma:

${\displaystyle ax^{n}+b=0}$

dove ${\displaystyle n}$ è un intero positivo, ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ sono numeri reali o complessi e ${\displaystyle a\neq 0}$. Portando ${\displaystyle \,b}$ al secondo membro e dividendo per ${\displaystyle \,a}$ si ottiene l'equazione equivalente:

${\displaystyle x^{n}=-{\frac {b}{a}}}$

Metodi risolutivi

Nel caso di numeri reali, l'equazione può avere nessuna, una o due soluzioni reali.

• Se ${\displaystyle n}$ è dispari l'equazione ammette l'unica soluzione ${\displaystyle x={\sqrt[{n}]{-{\frac {b}{a}}}}}$.

• Se ${\displaystyle n}$ è pari e ${\displaystyle -{\frac {b}{a}}<0}$ non ci sono soluzioni reali.

• Se ${\displaystyle n}$ è pari e ${\displaystyle -{\frac {b}{a}}\geq 0}$ ammette le soluzioni opposte ${\displaystyle x=+{\sqrt[{n}]{-{\frac {b}{a}}}}}$ e ${\displaystyle x=-{\sqrt[{n}]{-{\frac {b}{a}}}}}$. In particolare, se ${\displaystyle -{\frac {b}{a}}=0}$, l'unica soluzione è ${\displaystyle x=0}$.

Nel caso dei numeri complessi, per il teorema fondamentale dell'algebra, l'equazione ha sempre ${\displaystyle n}$ soluzioni uguali alle radici ${\displaystyle n}$-esime di ${\displaystyle -{\frac {b}{a}}}$.

Esempi

• ${\displaystyle x^{3}+27=0\;\;\;\to \,\;\;x^{3}=-27\;\;\;\to \;\;\;x={\sqrt[{3}]{-27}}\;\;\;\to \;\;\;x=-3\;\;\;}$ (una soluzione reale).
• ${\displaystyle x^{4}-16=0\;\;\;\to \;\;\;x^{4}=16\,\;\,\to \;\,\,x={\sqrt[{4}]{16}}\;\;\;\to \;\;\,x=\pm 2\;\,\,}$ (due soluzioni reali).
• ${\displaystyle 2x^{2}+50=0\;\;\;\to \;\;\;2x^{2}=-50\;\;\;\to \;\;\;x^{2}=-25}$.

A questo punto si hanno due possibilità:

• se si desidera cercare le soluzioni nel campo dei numeri reali, allora l'equazione è impossibile perché una potenza pari non dà mai come risultato un numero negativo.
• se si cercano le soluzioni nel numero complesso si ha:

${\displaystyle x={\sqrt {-25}}\;\;\,\to \;\;\;x={\sqrt {25i^{2}}}\;\;\;\to \;\;\;x=\pm 5i}$

dove è stata utilizzata l'unità immaginaria (${\displaystyle i^{2}=-1}$).

Tabella Riassuntiva

EQUAZIONE BINOMIA: ${\displaystyle x^{n}=q}$ con ${\displaystyle x\in \mathbb {R} \land n\in \mathbb {N} \land n>0\land q\in \mathbb {R} }$

	${\displaystyle n}$ pari	${\displaystyle n}$ dispari
${\displaystyle q>0}$	${\displaystyle \pm {\sqrt[{n}]{q}}}$	${\displaystyle +{\sqrt[{n}]{q}}}$
${\displaystyle q<0}$	${\displaystyle \not \exists x\in \mathbb {R} }$	${\displaystyle -{\sqrt[{n}]{\left|q\right|}}}$

Note

Bibliografia

• Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi, I principi della matematica (Volume 3), Atlas, 2012, ISBN 978-88-268-1711-8.

Voci correlate

• Equazione algebrica
• Equazione trinomia

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