Ha emesso la professione perpetua nel 1991 e l'11 luglio 1992 è stato ordinato presbitero. Ha conseguito il baccalaureato alla Pontificia Università Gregoriana a Roma, dove ha ottenuto anche la licenza e, nel 1998, il dottorato in Storia della Chiesa, con specializzazione in Storia contemporanea.
Dal 1995 al 1997 è stato a Santiago del Cile, dove, oltre ad esercitare il ministero pastorale, dal 1994 al 1996, è stato consigliere della Commissione episcopale per le migrazioni del Cile (INCAMI). È stato poi trasferito a Buenos Aires, in Argentina, dove ha assunto dal 1997 al 2002 la direzione del Dipartimento delle migrazioni dell'arcidiocesi di Buenos Aires. Nel 1999 gli è stato assegnato il ruolo di segretario nazionale della Pontificia Opera della Propagazione della Fede, delle Pontificie Opere Missionarie dell'Argentina. La sua attività a favore dei migranti è continuata dal 2002 al 2010 a Manila, nelle Filippine quale direttore dello Scalabrini Migration Center (SMC) e dell Asian Pacific Migration Journal (APMJ).
Dal 1999 al 2010 ha insegnato presso l'Universidad del Salvador, a Buenos Aires, presso l'Instituto Teológico de São Paulo, in Brasile, presso l'Ateneo de Manila University, e la Maryhill School of Theology (MST) di Quezon City, nelle Filippine. Dal 2000 è stato professore invitato poi dal 2010, direttore dello Scalabrini International Migration Institute (SIMI), fondato dai Missionari di San Carlo, dal 2010 parte integrante della Facoltà di teologia della Pontificia università urbaniana, presso la quale, nel 2013, è divenuto professore ordinario e preside del SIMI.
È un compositore di musica sacra e liturgica, noto per la sua attività nel genere della musica cristiana e gospel. Le sue opere includono brani come Inno all'amore, Io amo te, Signore, e Alleluia, è risorto il Signor. Collabora con artisti come Francesco Buttazzo e Sandro Stacchiotti, contribuendo a vari album di musica religiosa, tra cui Alleluia è risorto e Come il buon samaritano. Pubblica principalmente con Edizioni Paoline.
Il 14 dicembre 2016 papa Francesco lo ha nominato sottosegretario della sezione migranti e rifugiati del Dicastero per il servizio dello sviluppo umano integrale con l'allora padre Michael Czerny, successivamente creato cardinale.
Il 23 aprile 2022 lo stesso papa lo ha nominato sottosegretario del dicastero; allo stesso è stata confermata la responsabilità della sezione migranti e rifugiati e gli sono stati assegnati i "progetti speciali".
Il 2 febbraio 2023 papa Francesco lo ha nominato diretto referente e direttore generale del Centro di alta formazione Laudato Si'.
Ministero episcopale e cardinalato
Il 6 ottobre 2024, durante l'Angelus, papa Francesco lo ha annunciato fra i cardinali del successivo concistoro del 7 dicembre. Il 28 ottobre successivo, in occasione dell'udienza al capitolo generale dei Missionari di San Carlo, lo stesso papa ha rivelato che avrebbe voluto crearlo cardinale in occasione di precedenti concistori, ma che Baggio era contrario; "Adesso, per obbedienza, l'ho fatto".
Il 31 ottobre lo ha nominato vescovo titolare di Urusi, con titolo personale di arcivescovo. Al concistoro del 7 dicembre 2024 il papa lo ha creato cardinale, affidandogli la diaconia di San Filippo Neri in Eurosia, di cui ha preso possesso il 1º febbraio seguente.
Ha ricevuto la consacrazione episcopale l'11 gennaio 2025 a Bassano del Grappa nella chiesa parrocchiale della Santissima Trinità dal cardinale Michael Czerny, allora prefetto del Dicastero per il servizio dello sviluppo umano integrale, co-consacranti il cardinale Silvano Maria Tomasi e Giuliano Brugnotto, vescovo di Vicenza.
Nello stesso giorno è stato nominato membro del Dicastero per i laici, la famiglia e la vita. Il 1º aprile seguente è stato nominato membro dell'Amministrazione del patrimonio della Sede Apostolica.
Il 30 giugno 2026 papa Leone XIV lo ha nominato pro-prefetto del Dicastero per il servizio dello sviluppo umano integrale, con incarico speciale per il Centro di alta formazione Laudato si', con decorrenza dal 1º settembre 2026.
