Fasore

In elettrotecnica un fasore è un numero complesso che rappresenta un'onda sinusoidale di una specifica frequenza. Essendo un numero complesso è rappresentabile nel piano complesso come un vettore sfasato rispetto all'asse reale di un certo angolo o fase, da qui l'origine del termine fasore, parola macedonia composta da fase e vettore. I fasori sono utilizzati dal metodo simbolico quale comoda rappresentazione in campo complesso di grandezze fisiche reali oscillanti come, in particolare, le grandezze elettriche.

Definizione

Un'onda sinusoidale $v (t)$ è caratterizzata da un'ampiezza $V_{max}$ , una frequenza $f$ e una fase iniziale $ϕ_{0}$ . Alla frequenza, grandezza pari all'inverso del periodo $T$ dell'onda, è possibile associare una pulsazione $ω = 2 π f$ tale per cui l'equazione dell'onda allora risulta:

v (t) = V_{max} \cos (ω t + ϕ_{0})

Nell'analisi dei circuiti elettrici in corrente alternata è necessario effettuare diverse operazioni algebriche tra sinusoidi, allora per semplificare i calcoli è possibile associare univocamente a ogni onda sinusoidale un numero complesso detto fasore. Si definisce allora un numero complesso tale che la sua parte reale sia pari alla funzione $v (t)$ , e che abbia parte immaginaria tale da poter impiegare direttamente la formula di Eulero, essendo la parte reale una funzione coseno. Si determina allora il numero complesso:

V_{max} \cos (ω t + ϕ_{0}) + j V_{max} \sin (ω t + ϕ_{0})

In elettrotecnica l'unità immaginaria è indicata con la lettera $j$ al fine di evitare confusione con l'intensità di corrente, generalmente indicata con la lettera $i$ . In un sistema di coordinate polari, tramite la formula di Eulero, il numero complesso appena ottenuto è riscrivibile come:

V_{max} e^{j (ω t + ϕ_{0})} = V_{max} e^{j ϕ_{0}} e^{j ω t}

Sul piano complesso è possibile rappresentare $V_{max} e^{j ϕ_{0}} = V_{max} (\cos ϕ_{0} + j \sin ϕ_{0})$ come un vettore di modulo $V_{max}$ sfasato rispetto all'asse reale di angolo $ϕ_{0}$ . Siccome però il numero ottenuto è $V_{max} e^{j (ω t + ϕ_{0})}$ si ha che lo sfasamento con l'asse reale varia di un fattore $ω t$ , si ha così nel piano complesso un vettore di che ruota in senso antiorario a velocità angolare $ω$ . Date queste proprietà il numero ottenuto è definito vettore rotante. Se le operazioni algebriche sono da effettuare su circuiti lineari caratterizzati da tensioni e correnti alternate di uguale frequenza allora è conveniente definire il fasore $\bar{V}$ come un vettore sul piano complesso di modulo pari al valore efficace $V$ della sinusoide (grandezza tale che $V_{max} = \sqrt{2} V$ ) e fase $ϕ_{0}$ .

\bar{V} = V e^{j ϕ_{0}}

La corrispondenza tra sinusoide e fasore allora è:

v (t) = \sqrt{2} R e (\bar{V} e^{j ω t})

In modo del tutto equivalente, definito il fasore complesso coniugato ${\bar{V}}^{*} = V e^{- j ϕ_{0}}$ si ha che:

v (t) = \frac{1}{\sqrt{2}} (\bar{V} e^{j ω t} + {\bar{V}}^{*} e^{- j ω t})

Proprietà

Somma e differenza

Definito il fasore ${\bar{V}}_{1} = V_{1} e^{j ϕ_{1}} = V_{1} \cos ϕ_{1} + j V_{1} \sin ϕ_{1}$ e in modo analogo ${\bar{V}}_{2}$ allora la somma tra i due è:

{\bar{V}}_{1} + {\bar{V}}_{2} = V_{1} \cos ϕ_{1} + V_{2} \cos ϕ_{2} + j (V_{1} \sin ϕ_{1} + V_{2} \sin ϕ_{2})

Per estensione la sommatoria di $n$ fasori è:

\sum_{k = 1}^{n} {\bar{V}}_{k} = \sum_{k = 1}^{n} V_{k} \cos ϕ_{k} + j \sum_{k = 1}^{n} V_{k} \sin ϕ_{k}

La differenza è realizzabile come la somma di fasori opposti:

{\bar{V}}_{1} - {\bar{V}}_{2} = {\bar{V}}_{1} + (- {\bar{V}}_{2})

Prodotto e rapporto

Definiti i fasori ${\bar{V}}_{1}$ e ${\bar{V}}_{2}$ allora il loro prodotto è:

{\bar{V}}_{1} \cdot {\bar{V}}_{2} = V_{1} V_{2} e^{j (ϕ_{1} + ϕ_{2})} = V_{1} V_{2} (\cos (ϕ_{1} + ϕ_{2}) + j \sin (ϕ_{1} + ϕ_{2}))

Per estensione la produttoria di $n$ fasori è:

\prod_{k = 1}^{n} {\bar{V}}_{k} = \prod_{k = 1}^{n} V_{k} e^{j \sum_{k = 1}^{n} ϕ_{k}}

Considerati i fasori ${\bar{V}}_{1}$ e ${\bar{V}}_{2}$ allora il loro rapporto è:

\frac{{\bar{V}}_{1}}{{\bar{V}}_{2}} = \frac{V_{1}}{V_{2}} e^{j (ϕ_{1} - ϕ_{2})}

Considerato il numero complesso coniugato ${\bar{V}}_{2}^{*} = V_{2} e^{- j ϕ_{0}}$ allora il prodotto coniugato è:

{\bar{V}}_{1} \cdot {\bar{V}}_{2}^{*} = V_{1} V_{2} e^{j (ϕ_{1} - ϕ_{2})}

In particolare se ${\bar{V}}_{1} = {\bar{V}}_{2} = \bar{V}$ allora:

\bar{V} \cdot {\bar{V}}^{*} = V^{2}

Derivata e integrale

Considerato il fasore $\bar{V} = V e^{j ϕ_{0}}$ e il suo vettore rotante associato $\sqrt{2} \bar{V} e^{j ω t}$ allora simbolicamente si indica la derivata del fasore come il fasore della derivata del vettore rotante:

\frac{d}{d t} \sqrt{2} \bar{V} e^{j ω t} = \sqrt{2} \bar{V} j ω e^{j ω t} \to \frac{d \bar{V}}{d t} = j ω \bar{V}

Siccome $j ω \bar{V} = ω V e^{j (ϕ_{0} + \frac{π}{2})}$ allora la derivazione moltiplica il modulo di un fattore $ω$ e introduce uno sfasamento in anticipo di $\frac{π}{2}$ .

Analogamente per l'integrale:

\int \sqrt{2} \bar{V} e^{j ω t} d t = \sqrt{2} \frac{\bar{V}}{j ω} e^{j ω t} \to \int \bar{V} d t = \frac{\bar{V}}{j ω}

Siccome $\frac{\bar{V}}{j ω} = \frac{V}{ω} e^{j (ϕ_{0} - \frac{π}{2})}$ allora l'integrazione moltiplica il modulo di un fattore $\frac{1}{ω}$ e introduce uno sfasamento in ritardo di $\frac{π}{2}$ .

Leggi costitutive dei bipoli

Resistore

Considerato un resistore di resistenza $R$ su cui è applicata una corrente alternata $i (t)$ allora per la legge di Ohm la tensione $v (t)$ sul resistore è:

v (t) = R i (t)

Associati i rispettivi vettori rotanti allora la relazione diventa:

\sqrt{2} V e^{j (ω t + ϕ_{v})} = R \sqrt{2} I e^{j (ω t + ϕ_{i})}

In particolare si nota che il valore efficace della tensione è $V = R I$ mentre la fase è $ϕ_{v} = ϕ_{i}$ . In termini di fasori allora:

\bar{V} = R \bar{I}

Induttore

La relazione costitutiva dell'induttore è:

v (t) = L \frac{d i (t)}{d t}

Associati i rispettivi vettori rotanti allora la relazione diventa:

\sqrt{2} V e^{j (ω t + ϕ_{v})} = L \frac{d}{d t} \sqrt{2} I e^{j (ω t + ϕ_{i})} = \sqrt{2} j ω L I e^{j (ω t + ϕ_{i})} = \sqrt{2} ω L I e^{j (ω t + ϕ_{i} + \frac{π}{2})}

In particolare si nota che il valore efficace della tensione è $V = ω L I$ mentre la fase è $ϕ_{v} = ϕ_{i} + \frac{π}{2}$ , si ha quindi che la corrente è in ritardo rispetto alla tensione. In termini di fasori allora:

\bar{V} = j ω L \bar{I}

Condensatore

La relazione costitutiva del condensatore è:

i (t) = C \frac{d v (t)}{d t}

Associati i rispettivi vettori rotanti allora la relazione diventa:

\sqrt{2} I e^{j (ω t + ϕ_{i})} = C \frac{d}{d t} \sqrt{2} V e^{j (ω t + ϕ_{v})} = \sqrt{2} j ω C V e^{j (ω t + ϕ_{v})} = \sqrt{2} ω C V e^{j (ω t + ϕ_{v} + \frac{π}{2})}

In particolare si nota che il valore efficace della corrente è $I = ω C V$ mentre la fase è $ϕ_{i} = ϕ_{v} + \frac{π}{2}$ , si ha quindi che la corrente è in anticipo rispetto alla tensione. In termini di fasori allora:

\bar{I} = j ω C \bar{V}

Note

↑ Fasore, in Dizionario delle scienze fisiche, Roma, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 1996.
↑ Arturi, p. 182.
1 2 3 Arturi, p. 183.
↑ Arturi, p. 184.
1 2 Arturi, p. 185.

Bibliografia

Cesare Mario Arturi, Elettrotecnica 1: Reti elettriche e magnetiche, introduzione alla conversione magnetica, 2ª ed., Bologna, Società Editrice Esculapio, 2017 [2007], ISBN 978-88-7488-389-9.
Andrea Cristofolini, Grandezze periodiche (PDF), Università degli Studi di Bologna.

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[1] Fasore, in Dizionario delle scienze fisiche, Roma, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 1996.

[2] Arturi, p. 182.

[:0-3] 1 2 3 Arturi, p. 183.

[4] Arturi, p. 184.

[:1-5] 1 2 Arturi, p. 185.