Finite impulse response

Nella teoria dei segnali, in particolare nell'elaborazione numerica dei segnali, un sistema dinamico finite impulse response, in italiano risposta finita all'impulso e spesso abbreviato in FIR, è una tipologia di filtro digitale caratterizzata da una risposta impulsiva di durata finita, cioè che si annulla ad un tempo finito. I sistemi la cui risposta non si annulla ad un tempo finito sono detti infinite impulse response (IIR).

Definizione

L'uscita $y (t)$ di un sistema dinamico lineare tempo-invariante (LTI) a tempo continuo soggetto ad un segnale in ingresso $x (t)$ è descritta dalla convoluzione $y (t) = x (t) * h (t)$ , dove $h (t)$ è la risposta del sistema quando l'ingresso $x (t)$ è una funzione a delta di Dirac. L'uscita $y$ è quindi proporzionale alla media dell'ingresso $x$ pesata dalla funzione $h (- τ)$ , traslata di un tempo $t$ :

y (t) = \int_{- \infty}^{\infty} x (τ) h (t - τ) d τ

Un sistema dinamico lineare stazionario discreto trasforma la successione in ingresso ${x}$ in un'altra successione ${y}$ , data dalla convoluzione discreta con la risposta $h$ alla delta di Kronecker:

y [n] = \sum_{k = - \infty}^{\infty} x [k] \cdot h [n - k] = \sum_{k = - \infty}^{\infty} x [n - k] \cdot h [k]

Gli elementi di ${y}$ possono dipendere da ogni elemento di ${x}$ . Solitamente $y [n]$ dipende maggiormente dagli elementi in prossimità del tempo $n$ .

Per un filtro a tempo discreto l'uscita è una somma pesata dei valori assunti dall'ingresso al tempo corrente ed a tempi precedenti. Tale operazione è descritta dalla seguente equazione:

y [n] = h_{0} x [n] + h_{1} x [n - 1] + \dots + h_{N} x [n - N] = \sum_{i = 0}^{N} h_{i} x [n - i]

dove $h_{i}$ sono detti coefficienti del filtro, che determinano la risposta impulsiva, ed $N$ l'ordine del filtro. Per un filtro di ordine $N$ compaiono $(N + 1)$ termini nel membro alla sinistra.

Filtro a media mobile

Un filtro a media mobile è uno dei più semplici filtri FIR, i cui coefficienti $b_{0}, \dots, b_{N}$ soddisfano l'equazione:

b_{i} = \frac{1}{N + 1}

Ad esempio, un filtro di ordine $N = 2$ ha risposta impulsiva:

h [n] = \frac{1}{3} δ [n] + \frac{1}{3} δ [n - 1] + \frac{1}{3} δ [n - 2]

Facendone la trasformata zeta:

H (z) = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} z^{- 1} + \frac{1}{3} z^{- 2} = \frac{1}{3} \frac{z^{2} + z + 1}{z^{2}}

i cui due poli sono nell'origine e i due zeri in:

z_{1} = - \frac{1}{2} + j \frac{\sqrt{3}}{2} z_{2} = - \frac{1}{2} - j \frac{\sqrt{3}}{2}

La risposta in frequenza (in radianti per campione) è:

H (e^{j ω}) = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} e^{- j ω} + \frac{1}{3} e^{- j 2 ω}

Bibliografia

(EN) Phillips, C.l., Parr, J.M., & Riskin, E.A, Signals, systems and Transforms, Prentice Hall, 2007, ISBN 0-13-041207-4.
(EN) Hespanha,J.P., Linear System Theory, Princeton university press, 2009, ISBN 0-691-14021-9.

Voci correlate

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Collegamenti esterni

(EN) Denis Howe, Finite impulse response, in Free On-line Dictionary of Computing. Disponibile con licenza GFDL

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