Definizione
Data una varietà differenziabile e una 1-forma A su di essa a valori in un'algebra di Lie, si può definire una famiglia di p-forme:
In una dimensione, la 1-forma di Chern-Simons viene data da:
- .
![{\displaystyle Tr[\mathbf {A} ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0cee43c7b3ed0f6d0dec5060994e7a47a3eb2312)
In tre dimensioni, la 3-forma di Chern-Simons viene data da:
- .
![{\displaystyle Tr[\mathbf {F} \wedge \mathbf {A} -{\frac {1}{3}}\mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae33be7345adbe8a571b35bee9d6591ddd8afb6e)
In cinque dimensioni, la 5-forma di Chern-Simons viene data da:
![{\displaystyle Tr[\mathbf {F} \wedge \mathbf {F} \wedge \mathbf {A} -{\frac {1}{2}}\mathbf {F} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} +{\frac {1}{10}}\mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/342dd65e0af4690e6ce2502e00e1f5d435d839a6)
dove si definisce la curvatura come:
- .
La forma generale di Chern-Simons ω2k-1 si definisce in maniera tale che dω2k-1 = Tr (Fk) dove si utilizza per definire Fk il prodotto wedge.
Vedere la teoria di gauge per maggiori dettagli.
In generale, la p-forma di Chern-Simons si definisce per ogni p dispari. Vedere la teoria di gauge per le definizioni. Il suo integrale su una varietà p-dimensionale è un invariante di omotopia. Questo valore si chiama numero di Chern.
