Forme di Chern-Simons
In matematica, le forme di Chern-Simons sono certe classi caratteristiche secondarie. Sono sembrate utili nella teoria di gauge, e (soprattutto la terza forma) costituiscono il fondamento della teoria di Chern-Simons che deve il suo nome ai due autori Shiing-Shen Chern e James Harris Simons.
Definizione
Data una varietΓ differenziabile e una 1-forma A su di essa a valori in un'algebra di Lie, si puΓ² definire una famiglia di p-forme:
In una dimensione, la 1-forma di Chern-Simons viene data da:
- .
In tre dimensioni, la 3-forma di Chern-Simons viene data da:
- .
In cinque dimensioni, la 5-forma di Chern-Simons viene data da:
dove si definisce la curvatura come:
- .
La forma generale di Chern-Simons Ο2k-1 si definisce in maniera tale che dΟ2k-1 = Tr (Fk) dove si utilizza per definire Fk il prodotto wedge.
Vedere la teoria di gauge per maggiori dettagli.
In generale, la p-forma di Chern-Simons si definisce per ogni p dispari. Vedere la teoria di gauge per le definizioni. Il suo integrale su una varietΓ p-dimensionale Γ¨ un invariante di omotopia. Questo valore si chiama numero di Chern.
Bibliografia
- Chern, S.-S.; Simons, J (1974), Characteristic forms and geometric invariants, The Annals of Mathematics, Second Series 99 (1): 48-69
- Pilo Luigi, ChernSimons field theory and invariants of 3manifolds, Scuola Normale Superiore (collana Tesi), pag 222, 1999, ISBN 978-88-7642-278-2
Voci correlate
Collegamenti esterni
- Formulazione di Chern-Simons per la GravitΓ Affine (PDF), su theory.fi.infn.it. URL consultato il 10 aprile 2009 (archiviato dall'url originale il 10 maggio 2006).
