Formula di Perron

In teoria analitica dei numeri, la formula di Perron è una formula che permette di calcolare la somma di una funzione aritmetica tramite una trasformata di Mellin inversa. La formula prende il nome da Oskar Perron.

Enunciato

Sia ${a (n)}$ una funzione aritmetica, e sia

g (s) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{a (n)}{n^{s}}

la sua serie di Dirichlet corrispondente. Si supponga che la serie di Dirichlet sia assolutamente convergente per $ℜ (s) > σ_{a}$ . Allora la formula di Perron afferma che

A (x) = {\sum_{n \leq x}}^{⋆} a (n) = \frac{1}{2 π i} \int_{c - i \infty}^{c + i \infty} g (z) \frac{x^{z}}{z} d z

,

per ogni $x > 0$ e $c > σ_{a}$ . In questo caso, la stella a fianco del simbolo di sommatoria segnala che l'ultimo termine della somma va moltiplicato per 1/2 quando $x$ è un intero.

Dimostrazione

Un semplice abbozzo di dimostrazione può essere ricavato dalla formula di sommazione di Abel:

g (s) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{a (n)}{n^{s}} = s \int_{0}^{\infty} A (x) x^{- (s + 1)} d x .

Questa non è altro che una trasformata di Laplace con il cambio di variabile $x = e^{t}$ . La formula di Perron si ricava invertendo questa relazione.

Esempi

A causa della sua relazione generale con le serie di Dirichlet, la formula di Perron è comunemente applicata a svariate somme di teoria dei numeri. In questo modo, ad esempio, si ottiene l'importante rappresentazione integrale della funzione zeta di Riemann:

ζ (s) = s \int_{1}^{\infty} \frac{⌊ x ⌋}{x^{s + 1}} d x

e una formula analoga per le funzioni L di Dirichlet:

L (s, χ) = s \int_{1}^{\infty} \frac{A (x)}{x^{s + 1}} d x

dove

A (x) = \sum_{n \leq x} χ (n)

e $χ (n)$ è un carattere di Dirichlet.

Note

↑ (EN) Formula di Perron su MathWorld.

Bibliografia

(EN) Apostol, Tom M., Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg, Springer-Verlag, 1976, p. 243, ISBN 978-0-387-90163-3.
(EN) Gérald Tenebaum, Introduction to analytic and probabilistic number theory, Cambridge, Cambridge University Press, 1995, ISBN 0-521-41261-7.

Voci correlate

Collegamenti esterni

(EN) Eric W. Weisstein, Perron's Formula, su MathWorld, Wolfram Research.

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[1] (EN) Formula di Perron su MathWorld.