Formula genere-grado

In matematica, e in particolare nella geometria algebrica classica, la formula genere-grado lega il grado ${\displaystyle d}$ di una curva piana ${\displaystyle C\subset \mathbb {P} ^{2}}$ che ammette solo singolarità ordinarie con il suo genere geometrico ${\displaystyle g}$ mediante la formula:

${\displaystyle g={\frac {(d-1)(d-2)}{2}}-\sum _{P\in C}{\frac {r_{P}(r_{P}-1)}{2}},}$

dove ${\displaystyle r_{P}}$ è la molteplicità del punto ${\displaystyle P}$ della curva.

Se la curva è non singolare, le molteplicità sono tutte uguali a ${\displaystyle 1}$ e si ha la formula

${\displaystyle g={\frac {1}{2}}(d-1)(d-2),}$

in tal caso il genere geometrico e il genere aritmetico della curva coincidono.

Dimostrazione

La dimostrazione segue immediatamente dalla formula di aggiunzione. Per una dimostrazione classica vedere il libro di Arbarello, Cornalba, Griffiths e Harris.

Generalizzazione

Per un'ipersuperficie non singolare ${\displaystyle H}$ di grado ${\displaystyle d}$ in ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ di genere aritmetico ${\displaystyle g}$ la formula diventa:

${\displaystyle g={\binom {d-1}{n}},}$

dove ${\displaystyle {\tbinom {d-1}{n}}}$ è il coefficiente binomiale.

Note

Bibliografia

• (EN) Arbarello, Cornalba, Griffiths, Harris. Geometry of algebraic curves. vol 1 Springer, ISBN 0-387-90997-4, appendix A. https://link.springer.com/book/10.1007/978-1-4757-5323-3
• (EN) Griffiths and Harris, Principles of algebraic geometry, Wiley, ISBN 0-471-05059-8, chapter 2, section 1.
• (EN) Robin Hartshorne (1977): Algebraic geometry, Springer, ISBN 0-387-90244-9.

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