Formule di Briggs

Le Formule di Briggs sono delle formule geometriche, ricavate da Henry Briggs, in grado di fornire i valori delle principali funzioni trigonometriche avendo a disposizione soltanto le misure dei 3 lati del triangolo.

Le formule in realtà forniscono i valori per il semi-angolo interno. Per ricavare le formule per sapere i valori trigonometrici relativi all'angolo interno basta applicare a queste le formule di duplicazione.

a,b,c = lati del triangolo p = semiperimetro


Seno	Coseno	Tangente
$\sin \frac{α}{2} = \sqrt{\frac{(p - b) (p - c)}{b c}}$	$\cos \frac{α}{2} = \sqrt{\frac{p (p - a)}{b c}}$	$\tan \frac{α}{2} = \sqrt{\frac{(p - b) (p - c)}{p (p - a)}}$
$\sin \frac{β}{2} = \sqrt{\frac{(p - a) (p - c)}{a c}}$	$\cos \frac{β}{2} = \sqrt{\frac{p (p - b)}{a c}}$	$\tan \frac{β}{2} = \sqrt{\frac{(p - a) (p - c)}{p (p - b)}}$
$\sin \frac{γ}{2} = \sqrt{\frac{(p - a) (p - b)}{a b}}$	$\cos \frac{γ}{2} = \sqrt{\frac{p (p - c)}{a b}}$	$\tan \frac{γ}{2} = \sqrt{\frac{(p - a) (p - b)}{p (p - c)}}$

Duplicazione delle formule di Briggs

Utilizzando la formula di duplicazione per il seno si ha:

\begin{matrix} \sin α & = 2 \sin \frac{α}{2} \cdot \cos \frac{α}{2} \\ = 2 \sqrt{\frac{(p - b) (p - c)}{b c} \cdot \frac{p (p - a)}{b c}} \\ = \frac{2}{b c} \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)} \end{matrix}

Come sappiamo dalla formula di Erone, la quantità

\begin{matrix} \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)} \end{matrix}

non è altro che l'area del triangolo di lati $a$ , $b$ e $c$ . La relazione precedente può essere allora interpretata anche come dimostrazione della formula di Erone, dal momento che si ha ovviamente:

A = \frac{b c \sin α}{2}

Utilizzando la formula di duplicazione per il coseno si ha:

\begin{matrix} \cos α & = \cos^{2} \frac{α}{2} - \sin^{2} \frac{α}{2} \\ = {\sqrt{\frac{p (p - a)}{b c}}}^{2} - {\sqrt{\frac{(p - b) (p - c)}{b c}}}^{2} \\ = \frac{p (p - a)}{b c} - \frac{(p - b) (p - c)}{b c} \end{matrix}

Collegamenti esterni

Briggs, formule di, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.

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