Formule di Waring

Le formule di Waring sono formule algebriche utilizzate nella soluzione di un sistema simmetrico, e derivano dalle teorie di Edward Waring, matematico britannico del XVIII secolo.

Le formule più utilizzate sono quelle per potenze del binomio di ordine $n = 2$ oppure $n = 3$ , che sono quelle del quadrato e cubo del binomio. Questo calcolo serve a trasformare le potenze del binomio di variabili $a$ e $b$ in somme e prodotti di queste variabili. Tali somme e prodotti di queste variabili sono riconducibili alla forma canonica di un sistema simmetrico. Da notare che: $s = a + b$ e $p = a b$ .

$a^{2} + b^{2} = (a + b)^{2} - 2 a b = s^{2} - 2 p;$
$a^{3} + b^{3} = (a + b)^{3} - 3 a^{2} b - 3 a b^{2} = (a + b)^{3} - 3 a b (a + b) = s^{3} - 3 p s;$
$a^{4} + b^{4} = (a + b)^{4} - 4 a^{3} b - 6 a^{2} b^{2} - 4 a b^{3} = (a + b)^{4} - 4 a b (a^{2} + b^{2}) - 6 a^{2} b^{2} = s^{4} - 4 p (s^{2} - 2 p) - 6 p^{2} = s^{4} - 4 p s^{2} + 2 p^{2};$
$a^{5} + b^{5} = (a + b)^{5} - 5 a b (a^{3} + b^{3}) - 10 a^{2} b^{2} (a + b) = s^{5} - 5 p s^{3} + 5 p^{2} s;$
$a^{6} + b^{6} = (a + b)^{6} - 6 a b (a^{4} + b^{4}) - 15 a^{2} b^{2} (a^{2} + b^{2}) - 20 a^{3} b^{3} = s^{6} - 6 p s^{4} + 9 p^{2} s^{2} - 2 p^{3};$
$a^{7} + b^{7} = (a + b)^{7} - 7 a b (a^{5} + b^{5}) - 21 a^{2} b^{2} (a^{3} + b^{3}) - 35 a^{3} b^{3} (a + b) = s^{7} - 7 p s^{5} + 14 p^{2} s^{3} - 7 p^{3} s;$
$a^{8} + b^{8} = (a + b)^{8} - 8 a b (a^{6} + b^{6}) - 28 a^{2} b^{2} (a^{4} + b^{4}) - 56 a^{3} b^{3} (a^{2} + b^{2}) - 70 a^{4} b^{4} = s^{8} - 8 p s^{6} + 20 p^{2} s^{4} - 16 p^{3} s^{2} + 2 p^{4} .$

Per gli assiomi di Peano, la formula di Waring è deducibile per ogni potenza $n .$ Infatti la proprietà $P (n)$ è stata dedotta per $n = 2, 3, 4,$ nei quali sono stati messi in evidenza i successivi passaggi algebrici, ed è perciò generalizzabile a $n$ qualsiasi.

Come già per la quarta potenza nella quale viene sostituita la formula della seconda potenza del binomio, la ricorsione delle prime 4 in quelle di ordine $n$ -esimo, permette di esprimere il tutto in potenze della somma e prodotto delle variabili $a$ e $b .$ È opportuno vedere le formule di Waring in relazione ai sistemi simmetrici in quanto sono nate ed essenzialmente si usano in questo contesto, nel quale è necessario trasformare le variabili in somme e prodotti.

La risoluzione con questo metodo per ogni potenza $n$ è evidente se si considera il triangolo di Tartaglia: data una potenza $n,$ per ogni termine del tipo $a^{k} b^{(n - k)}$ , ne esiste uno del tipo $a^{(n - k)} b^{k}$ . Con un raccoglimento a fattor comune dei due termini, si otterranno: un termine del tipo $a^{(n - k)} b^{(n - k)} (a^{(2 k - n)} + b^{(2 k - n)})$ , per $n - k < k$ , ossia $n < 2 k$ .

Le formule di Waring sono deducibili (per una data potenza $n$ ) dalla formula di Tartaglia, scomponendo la sommatoria in tre tipi di termini:

$a^{n} + b^{n}$ ,
$a^{n / 2} b^{n / 2},$ per $n$ pari,
$a^{m} b^{m} (a^{o} + b^{o}),$ dove:

m = [1; n],

o = [1; n - 2 k]

con

k

numero intero.

Dunque, nelle sommatorie troviamo: la potenza $n$ -esima del binomio, il prodotto dei termini elevato a metà potenza, dei termini "misti" di potenze del prodotto dei termini e di loro somme secondo multipli interi di 2 (fino a $n$ ; o $n - 1$ , se $n$ è dispari).

Abbiamo riportato le formule di Waring per potenze superiori alla quarta per generalizzare agevolmente la formula, a $n$ qualsiasi.

a^{n} + b^{n} = (a + b)^{n} - \sum_{i = 1}^{f_{1}} T_{i} a^{i} b^{i} [a^{n - 2 i} + b^{n - 2 i}] - f_{2},

dove:

per $n$ dispari, $f_{1} = n / 2$ e $f_{2} = 0$ ;
per $n$ pari, $f_{1} = [n / 2 - 1]$ e $f_{2} = T_{i} a^{n / 2} b^{n / 2}$ , con $T_{i}$ coefficiente $i$ -esimo del triangolo di Tartaglia per la potenza $n$ , iniziando a contare da quello più a sinistra.

Voci correlate

Collegamenti esterni

(EN) Eric W. Weisstein, Waring Formula, su MathWorld, Wolfram Research.

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