Funzionale generatore

In teoria quantistica dei campi il funzionale generatore è un funzionale che si introduce per poter scrivere e calcolare in maniera compatta le funzioni di Green della teoria e, grazie alle formule di riduzione LSZ, gli elementi di matrice S per calcolare le ampiezze di scattering.

Campo scalare

In una teoria quantistica in cui è presente un solo campo scalare libero ${\displaystyle \phi }$, definiamo il funzionale generatore in unità naturali come

${\displaystyle Z_{0}[J]=\int {\mathcal {D}}\phi \,\exp {\Bigg \{}i\int d^{4}x\left({\frac {1}{2}}(\partial _{\mu }\phi )(\partial ^{\mu }\phi )-{\frac {m^{2}}{2}}\phi ^{2}+J\phi \right){\Bigg \}}}$,

dove quindi abbiamo il fattore ${\displaystyle e^{iS}}$caratteristico della formulazione dell'integrale sui cammini ed il termine di sorgente ${\displaystyle J}$. La misura ${\displaystyle {\mathcal {D}}\phi }$ è definita come il limite al continuo della produttoria dei valori ${\displaystyle \prod _{x_{i}}d\phi (x_{i})}$, dove i punti ${\displaystyle x_{i}}$ formano un reticolo sullo spaziotempo. Imponiamo inoltre una condizione di normalizzazione ${\displaystyle Z[J=0]=1}$.

Per il caso libero possiamo risolvere analiticamente il funzionale generatore trattando l'integrale sulle configurazioni dei campi come un integrale gaussiano, in particolare completando il quadrato all'esponente. Il risultato che otteniamo è

${\displaystyle Z_{0}[J]=\exp \left\{-{\frac {i}{2}}\int d^{4}x\,d^{4}y\,J(x)\Delta (x-y)J(y)\right\}}$,

dove abbiamo definito ${\displaystyle \Delta (x-y)=\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}{\frac {e^{-ip(x-y)}}{p^{2}-m^{2}+i\varepsilon }}}$.

Nel caso in cui abbiamo una teoria interagente, possiamo sempre scrivere l'azione come ${\displaystyle S=\int d^{4}x\left({\mathcal {L}}_{0}+{\mathcal {L}}_{int}\right)}$. A questo punto, possiamo notare come all'interno dell'integrale sulle configurazioni possiamo effettuare la sostituzione ${\displaystyle \phi (x)\rightarrow -i{\frac {\delta }{\delta J(x)}}}$, indicativamente come solito nella trasformata di Fourier sostituire ${\displaystyle p\rightarrow -i\partial _{x}}$. Dunque ora il termine d'interazione non dipende più dal campo e possiamo portarlo fuori dall'integrale sui cammini, ottenendo l'espressione generale per ogni teoria scalare

${\displaystyle Z[J]=\exp \left\{i\int d^{4}x\,{\mathcal {L}}_{int}\left(-i{\frac {\delta }{\delta J(x)}}\right)\right\}\;Z_{0}[J]}$.

Questa espressione è particolarmente comoda nel contesto della teoria delle perturbazioni. Se siamo infatti nel caso in cui la lagrangiana d'interazione dipende da un parametro detto costante di accoppiamento che è molto minore di 1, allora quello che possiamo fare è espandere in serie di Taylor l'esponenziale. A seconda delle necessità, è possibile troncare l'espansione al punto voluto.

Campo fermionico

Il funzionale generatore per un campo fermionico libero è definito a partire dall'azione di Dirac e dalle sorgenti ${\displaystyle \eta }$ e ${\displaystyle {\bar {\eta }}}$ come

${\displaystyle Z_{0}[\eta ,{\bar {\eta }}]=\int {\mathcal {D}}\psi {\mathcal {D}}{\bar {\psi }}\,\exp \left\{i\int d^{4}x{\Big (}{\bar {\psi }}(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m)\psi +{\bar {\eta }}\psi +{\bar {\psi }}\eta {\Big )}\right\}}$.

La risoluzione del caso libero è analoga a prima, tenendo però conto che ora i campi sono variabili grassmaniane data la natura fermionica. Il risultato che si ottiene è

${\displaystyle Z_{0}[\eta ,{\bar {\eta }}]=\exp \left\{{\frac {i}{2}}\int d^{4}x\,d^{4}y\,{\bar {\eta }}_{\alpha }(x)S_{\alpha \beta }(x-y)\eta _{\beta }(y)\right\}}$,

dove sono stati esplicitati gli indici spinoriali e si è definito ${\displaystyle S_{\alpha \beta }(x-y)}$ come

${\displaystyle S_{\alpha \beta }(x-y)=\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}e^{-ip(x-y)}{\frac {(\gamma ^{\mu }p_{\mu }+m)_{\alpha \beta }}{p^{2}-m^{2}+i\varepsilon }}}$.

Si può avere anche in questo caso lo stesso risultato precedente per la teoria interagente sostituendo nella lagrangiana d'interazione ${\displaystyle \psi (x)\rightarrow -i{\frac {\delta }{\delta {\bar {\eta }}(x)}}}$ e ${\displaystyle {\bar {\psi }}(x)\rightarrow i{\frac {\delta }{\delta \eta (x)}}}$, prestando attenzione ai segni meno derivanti dell'anticommutatività dei campi e delle sorgenti.

Campo vettoriale

Il caso di un campo di gauge è notoriamente più complicato data l'esistenza di un numero infinito di configurazione del campo a cui corrisponde lo stesso stato fisico. Non possiamo in particolare applicare la procedura usata nei due casi precedenti alla lagrangiana di Yang-Mills dato che l'operatore cinetico non è invertibile.

Possiamo risolvere questo problema sfruttando la procedura di Fadeev-Popov, fissando il gauge ed introducendo dei campi non fisici detti ghost. Per semplicità, consideriamo il caso più comune del gauge di Lorenz. Per il solo campo di gauge, otteniamo quindi come funzionale generatore libero, ovvero ponendo a zero la costante di accoppiamento,

${\displaystyle Z_{0}[J]=\int {\mathcal {D}}A\,\exp {\Bigg \{}i\int d^{4}x\left[{\frac {1}{2}}A_{\mu }^{a}\left(\partial ^{2}\eta ^{\mu \nu }-\left(1-{\frac {1}{\xi }}\right)\partial ^{\mu }\partial ^{\nu }\right)\delta ^{ab}A_{\nu }^{b}+J_{a}^{\mu }A_{\mu }^{a}\right]{\Bigg \}}}$.

Grazia alla presenza del termine proporzionale a ${\displaystyle {\frac {1}{\xi }}}$, possiamo ora calcolare l'integrale e ottenere come risultato

${\displaystyle Z_{0}[J]=\exp \left\{-{\frac {i}{2}}\int d^{4}x\,d^{4}y\,J_{\mu }^{a}(x)D_{ab}^{\mu \nu }(x-y)J_{\nu }^{b}(y)\right\}}$,

dove abbiamo definito

${\displaystyle D_{ab}^{\mu \nu }(x-y)=\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}{\frac {e^{-ip(x-y)}}{p^{2}+i\varepsilon }}\left[-\eta ^{\mu \nu }+(1-\xi ){\frac {p^{\mu }p^{\nu }}{p^{2}+i\varepsilon }}\right]\,\delta ^{ab}}$.

I termini di autointerazione come i vertici tripli e quadrupli tipici delle teorie non abeliane si possono comunque ottenere perturbativamente con la solita sostituzione ${\displaystyle A_{\mu }^{a}(x)\rightarrow -i{\frac {\delta }{\delta J_{a}^{\mu }(x)}}}$.

Come specificato in precedenza, l'espansione perturbativa è di qualche utilità solo se la costante di accoppiamento è piccola. Un noto esempio in cui ciò non è vale è la cromodinamica quantistica a basse energie. In questo caso l'approccio usato in precedenza non è di alcun beneficio ed è necessario usare tecniche non perturbative come la QCD su reticolo. Lo sviluppo perturbativo è invece utile ad alte energie, infatti nella fenomenologia dei collider si fa uso della QCD perturbativa per testare il Modello Standard.

Bibliografia

• Mark Srednicki, Quantum Field Theory, 2006, DOI:10.1017/CBO9780511813917.

Portale Quantistica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di quantistica