Funzione tau sui positivi

In matematica, la funzione tau sui positivi (o funzione dei divisori) è una funzione, solitamente indicata con $τ$ o $d$ , che associa a ogni numero intero positivo $n$ il numero $τ (n)$ dei suoi divisori, inclusi uno e il numero stesso.

La funzione vale $1$ per $n = 1$ , vale $2$ per tutti i numeri primi e ha valore maggiore di $2$ per tutti gli altri interi positivi. Inoltre la funzione $τ$ è una funzione moltiplicativa.

Se $n = p_{1}^{q_{1}} p_{2}^{q_{2}} \dots p_{k}^{q_{k}}$ (dove questa è la fattorizzazione di $n$ in numeri primi), allora vale la formula

τ (n) = (q_{1} + 1) (q_{2} + 1) \dots (q_{k} + 1) .

Da questa scrittura appare evidente che la funzione è dispari se e solo se $n$ è un quadrato perfetto.

Segue una tabella dei valori di $τ$ per i primi 20 numeri interi positivi:

$n$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
$τ (n)$	1	2	2	3	2	4	2	4	3	4
$n$	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
$τ (n)$	2	6	2	4	4	5	2	6	2	6

Proprietà

La funzione divisore appare nei coefficienti della serie di Dirichlet del quadrato della funzione zeta di Riemann:

\sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{τ (n)}{n^{s}} = ζ {(s)}^{2}

Inoltre, costituisce un caso particolare della funzione sigma, in quanto si ha $τ (n) = σ_{0} (n)$ . In particolare, soddisfa la seguente identità di Lambert:

\sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{x^{n}}{1 - x^{n}} = \sum_{n = 1}^{+ \infty} τ (n) x^{n}

Voci correlate

Funzione sigma sui positivi

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