Funzione subarmonica

In matematica, i concetti di funzione subarmonica e funzione superarmonica identificano un'importante classe di funzioni utilizzate nello studio delle equazioni alle derivate parziali, in analisi complessa e nella teoria del potenziale.

Dati $G \subset ℝ^{n}$ e una funzione semicontinua superiormente:

φ : G \to ℝ \cup {- \infty}

la funzione $φ$ è subarmonica se per ogni palla chiusa $\overline{B (x, r)} \subset G$ con centro in $x$ e raggio $r$ , e per ogni funzione continua a valori reali $h$ definita su $\overline{B (x, r)}$ che è una funzione armonica in $B (x, r)$ e soddisfa $φ (y) \leq h (y)$ per ogni $y$ sulla frontiera $\partial B (x, r)$ di $B (x, r)$ , allora quest'ultima disuguaglianza può essere estesa a tutta la palla:

φ (y) \leq h (y) \forall y \in B (x, r)

Una funzione $u$ è detta superarmonica se $- u$ è subarmonica.

Proprietà

Una funzione è armonica se e solo se è sia subarmonica che superarmonica.
Se $ϕ$ è di classe $C^{2}$ su un aperto $G$ in $ℝ^{n}$ , allora $ϕ$ è subarmonica se e solo se si verifica $Δ ϕ \geq 0$ su $G$ , dove $Δ$ è l'operatore di Laplace.
Il massimo di una funzione subarmonica non può essere raggiunto nei punti interni del suo dominio, a meno che non si tratti di una funzione costante, come stabilisce il principio del massimo. Il minimo, tuttavia, si può trovare anche all'interno del dominio.
Le funzioni subarmoniche formano un cono convesso, ovvero una combinazione lineare di funzioni subarmoniche con coefficienti positivi è subarmonica.
Il limite di una successione decrescente di funzioni subarmoniche è subarmonico (oppure identicamente uguale a $- \infty$ ).

Bibliografia

(EN) John B. Conway, Functions of one complex variable, New York, Springer-Verlag, 1978, ISBN 0-387-90328-3.
(EN) Steven G. Krantz, Function Theory of Several Complex Variables, Providence, Rhode Island, AMS Chelsea Publishing, 1992, ISBN 0-8218-2724-3.
(EN) Joseph Leo Doob, Classical Potential Theory and Its Probabilistic Counterpart, Berlin Heidelberg New York, Springer-Verlag, 1984, ISBN 3-540-41206-9.

(EN) Marvin Rosenblum e James Rovnyak, Topics in Hardy classes and univalent functions, Birkhauser Advanced Texts: Basel Textbooks, Basel, Birkhauser Verlag, 1994.

Voci correlate

Collegamenti esterni

(EN) Eric W. Weisstein, Subharmonic Function, su MathWorld, Wolfram Research.

(EN) Funzione subarmonica, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.
(EN) subharmonic and superharmonic functions, in PlanetMath.

Controllo di autorità	LCCN (EN) sh85052351 · BNF (FR) cb12288254v (data) · J9U (EN, HE) 987007553156705171

Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica