Funzione subarmonica

In matematica, i concetti di funzione subarmonica e funzione superarmonica identificano un'importante classe di funzioni utilizzate nello studio delle equazioni alle derivate parziali, in analisi complessa e nella teoria del potenziale.

Dati ${\displaystyle G\subset \mathbb {R} ^{n}}$ e una funzione semicontinua superiormente:

${\displaystyle \varphi \colon G\to {\mathbb {R} }\cup \{-\infty \}}$

la funzione ${\displaystyle \varphi }$ è subarmonica se per ogni palla chiusa ${\displaystyle {\overline {B(x,r)}}\subset G}$ con centro in ${\displaystyle x}$ e raggio ${\displaystyle r}$, e per ogni funzione continua a valori reali ${\displaystyle h}$ definita su ${\displaystyle {\overline {B(x,r)}}}$ che è una funzione armonica in ${\displaystyle B(x,r)}$ e soddisfa ${\displaystyle \varphi (y)\leq h(y)}$ per ogni ${\displaystyle y}$ sulla frontiera ${\displaystyle \partial B(x,r)}$ di ${\displaystyle B(x,r)}$, allora quest'ultima disuguaglianza può essere estesa a tutta la palla:

${\displaystyle \varphi (y)\leq h(y)\qquad \forall y\in B(x,r)}$

Una funzione ${\displaystyle u}$ è detta superarmonica se ${\displaystyle -u}$ è subarmonica.

Proprietà

• Una funzione è armonica se e solo se è sia subarmonica che superarmonica.
• Se ${\displaystyle \phi \,}$ è di classe ${\displaystyle C^{2}}$ su un aperto ${\displaystyle G}$ in ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}}$, allora ${\displaystyle \phi \,}$ è subarmonica se e solo se si verifica ${\displaystyle \Delta \phi \geq 0}$ su ${\displaystyle G}$, dove ${\displaystyle \Delta }$ è l'operatore di Laplace.
• Il massimo di una funzione subarmonica non può essere raggiunto nei punti interni del suo dominio, a meno che non si tratti di una funzione costante, come stabilisce il principio del massimo. Il minimo, tuttavia, si può trovare anche all'interno del dominio.
• Le funzioni subarmoniche formano un cono convesso, ovvero una combinazione lineare di funzioni subarmoniche con coefficienti positivi è subarmonica.
• Il limite di una successione decrescente di funzioni subarmoniche è subarmonico (oppure identicamente uguale a ${\displaystyle -\infty }$).

Bibliografia

• (EN) John B. Conway, Functions of one complex variable, New York, Springer-Verlag, 1978, ISBN 0-387-90328-3.
• (EN) Steven G. Krantz, Function Theory of Several Complex Variables, Providence, Rhode Island, AMS Chelsea Publishing, 1992, ISBN 0-8218-2724-3.
• (EN) Joseph Leo Doob, Classical Potential Theory and Its Probabilistic Counterpart, Berlin Heidelberg New York, Springer-Verlag, 1984, ISBN 3-540-41206-9.

• (EN) Marvin Rosenblum e James Rovnyak, Topics in Hardy classes and univalent functions, Birkhauser Advanced Texts: Basel Textbooks, Basel, Birkhauser Verlag, 1994.

Voci correlate

• Funzione armonica
• Funzione semicontinua
• Insieme polare (teoria del potenziale)

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Subharmonic Function, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Funzione subarmonica, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.
• (EN) subharmonic and superharmonic functions, in PlanetMath.

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