Funzioni di Lommel

In matematica, con funzioni di Lommel, in riferimento a Eugen von Lommel, vengono identificati diversi tipi di funzioni tra cui le soluzioni dell'equazione di Lommel, una generalizzazione dell'equazione di Bessel. Esse possono essere:

Funzioni dipendenti da una sola variabile $z$ , indicate con $s_{μ, ν} (z)$ e $S_{μ, ν} (z)$ , dove $μ, ν$ sono parametri. Sono state studiate da Lommel nel 1876.
Funzioni dipendenti da due variabili $w, z$ denotate con $U_{n} (w, z)$ e $V_{n} (w, z)$ , studiate da Lommel nel 1886.

Funzioni di Lommel dipendenti da una sola variabile

Le funzioni di Lommel dipendenti da una sola variabile $s_{μ, ν} (z)$ e $S_{μ, ν} (z)$ soddisfano l'equazione differenziale lineare detta equazione di Lommel:

z^{2} \frac{d y}{d z^{2}} + z \frac{d y}{d z} + (z^{2} - ν^{2}) y = z^{μ + 1} .

La funzione $s_{μ, ν} (z)$ è la soluzione, sviluppabile come serie di potenze:

s_{μ, ν} (z) = z^{μ - 1} \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n} (z / 2)^{2 n + 2} Γ ((μ - ν + 1) / 2) Γ ((μ + ν + 1) / 2)}{Γ ((μ - ν + 3) / 2 + n) Γ ((μ + ν + 3) / 2 + n)} .

Le soluzioni dell'equazione differenziale lineare sono $s_{μ, ν} (z) + A J_{ν} (z) + B J_{- ν} (z)$ dove $J_{\pm ν}$ sono funzioni di Bessel.

La funzione di Lommel $S_{μ, ν} (z)$ è definita come:

S_{μ, ν} (z) = s_{μ, ν} (z) + \frac{2^{μ - 1} Γ ((μ - ν + 1) / 2) Γ ((μ + ν + 1) / 2)}{\sin π ν} [\cos (π (μ - ν) / 2) J_{- ν} (z) - \cos (π (μ + ν) / 2) J_{ν} (z)] .

Le funzioni di Anger, le funzioni di Weber e le funzioni di Struve sono casi particolari delle funzioni di Lommel.

Funzioni di Lommel dipendenti da due variabili

Le funzioni $U_{n} (w, z)$ e $V_{n} (w, z)$ sono definite come serie di Neumann, ossia come uno sviluppo costruito sulle funzioni di Bessel:

U_{ν} (w, z) = \sum_{m = 0}^{\infty} (- 1)^{m} {(\frac{w}{z})}^{ν + 2 m} J_{ν + 2 m} (z);

V_{ν} (w, z) = \cos (\frac{w}{2} + \frac{z}{2 w} + \frac{ν π}{2}) + U_{2 - ν} (w, z) .

Queste funzioni sono importanti nella teoria della diffrazione.

Bibliografia

(DE) E. Lommel Ueber eine mit den Bessel'schen Functionen verwandte Function Math. Ann. 9, 425 (1876)
(DE) G. N. Watson A treatise on the theory of the Bessel functions (Cambridge University Press, 1922) pp. 345–352
(DE) E. Lommel Abh. der Math. Phys. classe der k. b. Akad. der Wiss. (Munchen) 15 P. 229 (1886)
(DE) E. Lommel Abh. der Math. Phys. classe der k. b. Akad. der Wiss. (Munchen) 15 P. 529 (1886)
(EN) J. Walker The analytical theory of light (Cambridge University Press, 1904)
(EN) G. N. Watson A treatise on the theory of the Bessel functions (Cambridge University Press, 1922) pp. 537–550
(EN) A. Gray e G. B. Mathews A treatise on Bessel functions and their applications to physics pp. 165–209 (London: Macmillan and co., 1895)

Voci correlate

Collegamenti esterni

(EN) E.D. Solomentsev, Lommel function, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.

(EN) Eric W. Weisstein, Lommel Function, su MathWorld, Wolfram Research.

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