Grassmanniana

In matematica, la grassmanniana di uno spazio vettoriale $V$ è l'insieme di tutti i suoi sottospazi aventi dimensione fissata $k$ . Questo insieme è indicato generalmente con il simbolo

{Gr}_{k} (V) .

Per $k = 1$ la grassmanniana è l'insieme delle rette in $V$ , ovvero lo spazio proiettivo

{Gr}_{1} (V) = ℙ (V) .

Il nome è legato al matematico tedesco Hermann Grassmann.

Esempi

Se $V$ è lo spazio euclideo $ℝ^{n}$ (ad esempio il piano cartesiano $ℝ^{2}$ oppure lo spazio tridimensionale $ℝ^{3}$ ) la grassmanniana è l'insieme dei sottospazi di dimensione $k$ dello spazio.

Ad esempio,

{Gr}_{1} (ℝ^{2})

è l'insieme di tutte le rette nel piano passanti per l'origine, mentre

{Gr}_{1} (ℝ^{3})

è l'insieme di tutte le rette nello spazio passanti per l'origine. Inoltre

{Gr}_{2} (ℝ^{3})

è l'insieme di tutti i piani nello spazio passanti per l'origine. Poiché ogni piano è ortogonale nello spazio ad un'unica retta (sempre passante per $O$ ), c'è una naturale funzione biunivoca

f : {Gr}_{1} (ℝ^{3}) \to {Gr}_{2} (ℝ^{3})

tra le due grassmanniane.

La grassmanniana più semplice che non sia isomorfa ad uno spazio proiettivo è l'insieme dei piani in uno spazio quadridimensionale:

{Gr}_{2} (ℝ^{4}) .

Proprietà

Dimensioni

Se $V$ è uno spazio di dimensione $n$ finita su cui è definito un prodotto scalare non degenere, è possibile associare ad ogni sottospazio $k$ -dimensionale $W$ il suo ortogonale $W^{⊥}$ , avente dimensione $n - k$ . In questo modo il prodotto scalare definisce un isomorfismo fra le grassmanniane di dimensione complementare:

{Gr}_{k} (V) ≅ {Gr}_{n - k} (V) .

L'isomorfismo dipende dal prodotto scalare scelto.

Spazio proiettivo

La grassmanniana rappresenta i sottospazi vettoriali di dimensione $k$ di $V$ . Poiché tali sottospazi sono in naturale corrispondenza biunivoca con i sottospazi proiettivi $(k - 1)$ -dimensionali di $ℙ (V)$ , la grassmanniana rappresenta anche i sottospazi proiettivi di uno spazio proiettivo.

La grassmanniana non rappresenta però i sottospazi affini.

Spazio omogeneo

La grassmanniana può essere definita nel modo seguente con gli strumenti dell'algebra. Il gruppo generale lineare $G L (V)$ agisce sui $k$ -sottospazi vettoriali di $V$ in modo transitivo. Sia $H$ lo stabilizzatore di un sottospazio (è un sottogruppo di $G L (V)$ ). Si può quindi scrivere

{Gr}_{k} = GL (V) / H .

Con questa definizione la grassmanniana risulta essere dotata automaticamente di alcune strutture aggiuntive. Se lo spazio vettoriale è reale o complesso, il gruppo $G L (V)$ è un gruppo di Lie e la grassmanniana è conseguentemente una varietà differenziabile. In particolare, è uno spazio topologico: la topologia concretizza le nozioni di "vicinanza" e "lontananza" fra sottopazi e di "movimento continuo" di sottospazi.

Dalla definizione segue anche che la grassmanniana è uno spazio omogeneo: i suoi punti (cioè i sottospazi) sono moralmente indistinguibili.

Spazio compatto

Nel caso in cui $V$ sia reale o complesso, la grassmanniana è uno spazio topologico. Se $V$ ha dimensione finita, la grassmanniana risulta essere uno spazio compatto.

Effettivamente, dopo aver scelto un prodotto scalare per $V$ è possibile sostituire il gruppo generale lineare $G L (V)$ con il gruppo ortogonale $O (V)$ , che è compatto. La grassmanniana risulta quindi compatta perché quoziente di un compatto. Nel caso complesso, si sceglie analogamente un prodotto hermitiano e si usa il gruppo unitario.

La compattezza testimonia il fatto seguente: una successione di $k$ -sottospazi contiene sempre una sottosuccessione di elementi che convergono ad un preciso sottospazio. Questo fatto è quindi valido sia per i sottospazi vettoriali che per quelli proiettivi. Non è però vera nel caso affine a causa del parallelismo: una successione di piani paralleli sempre più lontani non ha nessuna sottosuccessione convergente.

Voci correlate

Spazio proiettivo

Collegamenti esterni

(EN) Eric W. Weisstein, Grassmann Manifold, su MathWorld, Wolfram Research.

(EN) Grassmanniana, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.

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