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Baillot iniziò la sua carriera giocando nel Magny, squadra del suo comune (oggi parte della città di Metz). Dopo la seconda guerra mondiale si trasferì al Metz, con cui si affermò come uno dei migliori attaccanti in circolazione in Division 1, siglando 80 reti in cinque anni (che fanno di lui il secondo miglior marcatore della storia del Metz in campionato) e guadagnandosi anche la convocazione in nazionale.
Nel 1950 Baillot lasciò il Metz trasferendosi al Bordeaux, dove rimase due anni mantenendo un buon livello di prestazioni e sfiorando la vittoria della Coppa di Francia nel 1952, competizione che il Bordeaux perse in finale contro il Nizza per 5-3, con doppietta dello stesso Baillot.
Nel 1952 passò allo Strasburgo, ma qui la sua avventura fu condizionata da vari infortuni che ne limitarono il rendimento. Dopo una stagione e mezza, Baillot si trasferì dunque al Rennes, con cui giocò un anno e mezzo ritornando su buoni livelli, prima di chiudere la carriera nel 1955 per dedicarsi alla carriera di allenatore.
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