Nacque il 27 settembre 1905 a Rebecca, contea di Turner, in Georgia, figlio di Robert e Margaret Elrod. Dopo essersi diplomato nel 1922 presso la Thomasville High School, accettò una borsa di studio sportiva per il football presso l'università della Georgia, dove rimase un solo anno. Si trasferì quindi a quella di Yale per completare gli studi in ingegneria. Nel dicembre del 1927 si arruolò nell'United States Marine Corps, venendo nominato sottotenente nel febbraio del 1931, dopo aver completato il corso presso la Marine Corps Basic School di Filadelfia. Con il grado di tenente, fu assegnato alla Naval Air Station Pensacola, in Florida, dove prestò servizio come ufficiale di compagnia e come allievo pilota. Nel febbraio del 1935 ottenne il brevetto di pilota e fu trasferito alla Marine Corps Base Quantico, dove prestò servizio come aviatore dei Marines fino al gennaio del 1938. Oltre agli altri incarichi, fu anche responsabile della scuola, del personale e del benessere del suo squadrone.
Nel luglio del 1938 fu assegnato a uno squadron a San Diego, dove prestò servizio come responsabile dei materiali, dei paracadute e del personale fino al gennaio del 1941, quando fu trasferito nella zona delle Hawaii.
Resti del Wildcat 211-F-11, pilotato dal Capitano Elrod l'11 dicembre, durante l'attacco che affondò il cacciatorpediniere giapponese Kisaragi.
Il 4 dicembre 1941, promosso capitano, volò verso l'isola di Wake con dodici aerei Grumman F4F-3, dodici piloti e il personale di terra del VMF-211 Squadron al comando del maggiorePaul Albert Putnam. Le ostilità nei cieli sopra l'isola di Wake iniziarono l'8 dicembre 1941, e all'inizio del bombardamento, otto dei dodici F4F-3 Wildcat del VMF-211 furono distrutti. Il 12 dicembre, attaccò da solo una formazione di 22 caccia Mitsubishi A6M Zero e ne abbatté due. Eseguì diverse missioni di bombardamento e mitragliamento a bassa quota contro navi nemiche; durante uno di questi attacchi, affondò il cacciatorpedinieregiapponeseKisaragi, con bombe di piccolo calibro sganciate da uno dei 4 caccia Grumman F4F Wildcat superstiti, facendole cadere sulla poppa della nave e provocandone l'esplosione. Colpito dal fuoco antiaereo, il suo aereo fu costretto a un atterraggio di emergenza sulla spiaggia, danneggiandosi irreparabilmente.
Quando tutti gli aerei statunitensi furono distrutti dal fuoco giapponese, organizzò le truppe rimanenti in un'unità di difesa costiera che respinse ripetuti attacchi giapponesi. Il 23 dicembre 1941 fu ferito a morte mentre proteggeva i suoi uomini che trasportavano munizioni a una postazione di artiglieria.
Fu promosso postumo al grado di maggiore l'8 novembre 1946, e alla sua vedova fu conferita la Medal of Honor per le sue azioni eroiche durante la difesa dell'isola di Wake dal generale Alexander Vandegrift durante una apposita cerimonia tenutasi a Washington DC. La vedova, Elizabeth Hogun Jackson, era la nipote dell'ammiraglioRichard Jackson e prestò servizio come ufficiale nello United States Marine Corps.
Il corpo del maggiore Elrod fu inizialmente sepolto sull'isola di Wake, ma fu traslato nel cimitero nazionale di Arlington nell'ottobre del 1947. La sua Medal of Honor è conservata al Museo nazionale del Corpo dei Marines degli Stati Uniti a Quantico, così come alcuni pezzi dell'aereo che pilotò durante la battaglia di Wake.
«Per l'eccezionale coraggio e l'intrepidezza dimostrati a rischio della propria vita, ben oltre il dovere, mentre era assegnato al VMF-211 Squadron, durante le azioni contro le unità terrestri, di superficie e aeree giapponesi a Wake Island, dall'8 al 23 dicembre 1941. Il 9 e il 12 dicembre, il capitano Elrod, affrontando forze nemiche di gran lunga superiori composte da bombardieri e navi da guerra, abbatté due aerei di una formazione di 22 velivoli nemici e, eseguendo ripetuti bombardamenti e mitragliamenti a bassissima quota e a distanza ravvicinata, riuscì a infliggere danni mortali a una grande nave giapponese, affondando così la prima grande nave da guerra distrutta da bombe di piccolo calibro sganciate da un aereo da caccia. Quando il suo aereo fu messo fuori combattimento dal fuoco nemico e nessun'altra nave era operativa, il capitano Elrod assunse il comando di un fianco della linea schierata in segno di sfida allo sbarco nemico e, conducendo una brillante difesa, permise ai suoi uomini di mantenere le posizioni e respingere intense raffiche di fuoco nemiche, fornendo al contempo fuoco di copertura ai portamunizioni disarmati. Catturando un'arma automatica durante un assalto nemico in forze, diede la propria a uno dei suoi uomini e continuò a combattere vigorosamente contro i giapponesi. In gran parte responsabile della forza della coraggiosa resistenza del suo settore, il 23 dicembre il capitano Elrod guidò i suoi uomini con audace determinazione fino a cadere, mortalmente ferito. La sua superba abilità di pilota, la sua leadership coraggiosa e la sua incrollabile dedizione al dovere lo distinsero tra i difensori dell'isola di Wake, e la sua condotta valorosa gli conferisce il massimo onore, così come alla Marina degli Stati Uniti. Diede coraggiosamente la vita per la sua patria'.»
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