Un insieme sfocato o insieme sfumato (in inglese fuzzy set) è un insieme che rientra in un'estensione della teoria classica degli insiemi. Il concetto è stato introdotto da Lotfi A. Zadeh, nel 1965, come estensione della classica definizione di insieme.
Un insieme sfocato è caratterizzato da una funzione di grado di appartenenza, che mappa gli elementi di un universo in un intervallo reale continuo
Il valore 0 (zero) indica che l'elemento non è per niente incluso nell'insieme sfocato, il valore 1 (uno) indica che l'elemento è certamente incluso nell'insieme (questi due valori corrispondono alla teoria classica degli insiemi), mentre i valori tra zero e uno indicano il grado di appartenenza dell'elemento all'insieme sfocato in questione.
Dato un universo e una funzione del grado di appartenenza si definisce la sfocatura di rispetto ad , e si indica il grafico di :
Esempio
Un insieme fuzzy è l'insieme delle coppie ordinate con dove:
- , detto universo, è un insieme classico della teoria degli insiemi;
- è una funzione d'appartenenza
Ad esempio, prendiamo come insieme e come funzione d'appartenenza
Se , la sfocatura di risulta essere:
L'unico vincolo circa le funzioni d'appartenenza è quello sul codominio, ma, in maniera meno generale ma più pragmatica, si può dire che solitamente si tratta di funzioni monotone, triangolari, trapezoidali e gaussiane. È possibile eseguire tra insiemi fuzzy anche le classiche operazioni insiemistiche quali unione, intersezione e complemento. Si noti che non è possibile parlare di un insieme sfocato prescindendo dalla sua funzione di sfocatura e che questa, almeno in principio, è puramente arbitraria.
Proprietà degli insiemi sfocati
Gli insiemi fuzzy non godono di relazioni di univocità e biunivocità fra gli elementi di insiemi diversi. Pertanto, gli insiemi fuzzy sono un'estensione, ma non una generalizzazione, degli insiemi della teoria classica; ossia sono una teoria che allarga ma è inclusa in quella degli insiemi, piuttosto che includerla in una teoria nuova e più vasta.
Un semplice passaggio di notazione da un discreto fra 0 e 1 a un intervallo continuo di appartenenza fra gli stessi due estremi rappresenta un notevole salto concettuale ed è un esempio dell'importanza di disporre di una notazione matematica sintetica e potente.
Sugli insiemi fuzzy valgono gli operatori insiemistici: unione, intersezione e complementare. Valgono inoltre le leggi di De Morgan; non valgono invece il principio del terzo escluso (per cui l'unione di un insieme con il suo complementare è tutto l'insieme ambiente) e il principio di non-contraddizione (per cui l'intersezione di un insieme con il suo complementare è un insieme vuoto). Il discorso è valido in quanto la complementarità è definita indipendentemente da questi principi fondamentali di logica (e da tutti gli altri, che ne sono una derivazione) come proprietà di un singolo insieme e non di due o più insiemi in relazione tra loro.
Siano e il grado di appartenenza associato alle sfocature e . L'operazione di unione su due insiemi fuzzy e si esegue applicando ad ogni elemento di e di una funzione chiamata s-norm. Sia tale per cui valgano le seguenti proprietà
Allora si definisce l'unione di due sfocature come segue:
- (notiamo che è ancora una sfocatura di ).
Tipicamente si considera la funzione con .
In un modo analogo è possibile definire l'intersezione tra due sfocature di un insieme definendo una funzione, anche chiamata t-norm, tale per cui
In analogia definiamo l'intersezione come:
- (notiamo che è ancora una sfocatura di ).
Tipicamente si considera la funzione con .
Si può definire il complementare di un insieme definendo funzione di appartenenza del complementare. Sia tale per cui valgano
per ogni , allora . Si definisce il complementare di un insieme come segue:
- (notiamo che è ancora una sfocatura di ).
Tipicamente si considera la funzione con .
