Inviluppo (matematica)

In matematica, l'inviluppo di una famiglia o di un insieme di curve piane è la curva tangente a ciascun membro della famiglia in almeno un punto.

La più semplice espressione analitica di un inviluppo di curve nel piano $(x, y)$ è data dalla coppia di equazioni

F (x, y, t) = 0 (1)

\frac{\partial F (x, y, t)}{\partial t} = 0 (2)

dove la famiglia è implicitamente definita da (1); la (2), in termini informali, individua i punti in cui la F(x,y,t) rimane "costante". Deve essere possibile fare la derivata parziale rispetto a t di ciascuna curva della famiglia.

Per una famiglia di curve nel piano definite dalle equazioni parametriche $(x (t, p), y (t, p))$ , l'inviluppo si ottiene dall'equazione

\frac{\partial x}{\partial t} \frac{\partial y}{\partial p} = \frac{\partial y}{\partial t} \frac{\partial x}{\partial p}

dove al variare del parametro p si ottengono le differenti curve della famiglia.

Esempio

Si consideri il piano cartesiano, I quadrante, e in esso le rette passanti per i punti (0, k – t) e (t, 0), dove k è una costante e la famiglia di rette è generata dal variare del parametro t. La generica equazione di tali rette è y = −(k − t)x/t + k − t, ovvero, in forma implicita:

F (x, y, t) = t^{2} + t (y - x - k) + k x = 0

Uguagliando a zero la derivata rispetto a t si ha:

\frac{\partial F (x, y, t)}{\partial t} = 2 t + y - x - k = 0

da cui:

t = \frac{- y + x + k}{2}

Sostituendo t nella definizione di F(x,y,t) si ottiene:

x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 k x - 2 k y + k^{2} = 0

che è l'equazione della curva di inviluppo.

Note

↑ Giorgio Pietrocola, Curve storiche, Lemniscata di Bernoulli, su Tartapelago, Maecla, 2005. URL consultato il 26 aprile 2021.

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Collegamenti esterni

(EN) envelope, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.

(EN) Eric W. Weisstein, Envelope, su MathWorld, Wolfram Research.

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[1] Giorgio Pietrocola, Curve storiche, Lemniscata di Bernoulli, su Tartapelago, Maecla, 2005. URL consultato il 26 aprile 2021.