Ipotrocoide

In geometria, un'ipotrocoide è una rulletta ottenibile come curva tracciata da un punto fissato ad un cerchio $c$ di raggio $r$ e posto a una distanza $d$ dal centro (del cerchio $c$ ): quando $c$ ruota all'interno di un cerchio più grande, di raggio $R,$ traccia l'ipotrocoide.

Un'ipotrocoide si può individuare con il seguente sistema di equazioni parametriche:

{\begin{matrix} x (ϕ) = (R - r) \cos ϕ + d \cos (\frac{R - r}{r} ϕ) \\ y (ϕ) = (R - r) \sin ϕ - d \sin (\frac{R - r}{r} ϕ) . \end{matrix}

L'equazione polare di un'ipotrocoide è

ρ (ϕ)^{2} = (R - r)^{2} + 2 d (R - r) \cos (\frac{R}{r} ϕ) + d^{2},

dove $ϕ$ non è l'angolo polare $θ,$ ma, quando $x \neq 0,$ le due variabili sono legate dalla relazione:

\tan θ = \frac{y}{x} = \frac{(R - r) \sin ϕ - d \sin (\frac{R - r}{r} ϕ)}{(R - r) \cos ϕ + d \cos (\frac{R - r}{r} ϕ)} .

Tra i casi speciali di ipotrocoide vi sono l'ipocicloide, relativa a $d = r,$ e l'ellisse, ottenuta quando $R = 2 r .$

Le ipotrocoidi, così come le epitrocoidi, possono essere tracciate materialmente da una apparecchiatura chiamata spirografo.

Voci correlate

Altri progetti

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Collegamenti esterni

(EN) Eric W. Weisstein, Hypotrochoid, su MathWorld, Wolfram Research.
Flash Animation of Hypocycloid, su mekanizmalar.com.
Hypotrochoid dal Dizionario Visuale delle Curve Piane Speciali, Xah Lee
Interactive hypotrochoide animation, su geogebra.org. URL consultato il 2 maggio 2019 (archiviato dall'url originale il 4 marzo 2012).

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