Joseph-Auguste Duc è figlio di Claude-François (di fu Pierre-Henri, di François), originario di Châtillon, e di Dauphine-Séraphine Frutaz, originaria di Torgnon. È cugino dei canonici Pierre-Étienne Duc e François-Gabriel Frutaz. Frequenta il collegio Saint-Bénin e il Grand séminaire a Aosta, è ordinato sacerdote il 19 dicembre 1857.
Nominato vescovo di Aosta nel 1872, a soli 37 anni, fu tra i vescovi più giovani della sua epoca e tra i pochi prelati valdostani a capo della diocesi di Aosta. Rimase tale fino al novembre 1907, quando si dimise per lo scandalo seguito ad un furto avvenuto nella cassa diocesana: alla sua nomina a tesoriere di questa cassa per la morte del suo predecessore, Maurice Gerbore, fu scoperto l'ammanco di una notevole cifra; Duc chiese l'intervento del Sant'Uffizio per fare chiarezza sull'accaduto ma fu travolto dalla campagna contro le intemperanze del clero e l'ondata di scandali delle "sottane sporche" portata avanti dalla stampa locale (in particolare del foglio anticlericale Le Mont Blanc, contrapposto a Le Duché d'Aoste) sulla scia di quella nazionale. Seppure del furto si rivelarono colpevoli altri canonici, il Duc duramente colpito dalla stampa preferì ritirarsi a Martigny e solo nel 1916 decise di ritornare ad Aosta.
Joseph-Auguste Duc fu un raffinato scrittore e si interessò anche di politica. Tra i suoi passatempi, figurava la caccia. Fu tra i fondatori del seminario minore (Petit séminaire Saint-Anselme) di Aosta.
Come storico, la sua opera più nota è Histoire de l'Église d'Aoste in 10 volumi, nella quale riporta in maniera dettagliata e ancora ineguagliata la storia della diocesi, dal Medioevo fino al XVIII secolo e per la quale il Papa lo designò arcivescovo titolare di Traianopoli di Rodope nel 1907.
Di rilievo si ricorda anche La langue française en Vallée d'Aoste, sulla storia linguistica locale.
(FR) Claude-Ange-Joseph Calabrese, Monseigneur Joseph-Auguste Duc, in Augusta Praetoria: revue valdôtaine de pensée et d'action régionalistes, n. 5, fascicoli 1-2, Aosta: Banque Laurent Réan e Ivrea: F. Viassone, 1923.
(FR) Claude-Ange-Joseph Calabrese, Commémoration de Monseigneur Joseph-Auguste Duc, discorso tenuto all'Académie Saint-Anselme l'11 gennaio 1923, Aosta: Société éditrice valdôtaine, 1925.
(IT) Aimé-Pierre Frutaz, Mons. Giuseppe Augusto Duc, vescovo di Aosta dal 1872 al 1907, in Académie Saint-Anselme. Société académique, religieuse et scientifique du Duché d'Aoste, n. 50, 1982, pp.13–20.
