Left loop

Un left-loop è una struttura algebrica usata in matematica.

Definizione

Un left-loop è una struttura algebrica che consiste di un insieme non vuoto $L$ dotato di un'operazione binaria

(\cdot) : L \times L ⟶ L

tale che:

esiste un elemento $1_{L}$ , detto neutro, tale che $1_{L} \cdot a = a \cdot 1_{L}$ per ogni $a \in L$ ;
l'equazione $a \cdot x = b$ ha un'unica soluzione $x \in L$ .

Costruzione di left-loop

Sezione di un gruppo

Definizione

Siano $G$ un gruppo ed $H$ un suo sottogruppo. Una sezione di $G$ relativamente ad $H$ è un'applicazione

σ : G / H ⟶ G,

dove $G / H$ è la famiglia delle classi laterali sinistre di $G$ modulo $H$ , tale che:

$σ (G / H)$ è un insieme di rappresentanti di classi laterali sinistre;
$σ (H) = 1_{G}$ .

Inoltre l'immagine $L := σ (G / H)$ della sezione prende il nome di trasversale (sinistro) di $G / H$ . Va osservato che la 1. è equivalente alla condizione

π \circ σ (g H) = g H, \forall g \in G,

dove $π : G \to G / H$ è la proiezione canonica del gruppo $G$ sul quoziente $G / H$ .

Teorema 1

Siano $G$ un gruppo, $H$ un sottogruppo di $G$ e $σ$ una sezione di $G / H$ , allora $L := σ (G / H)$ è un left loop rispetto l'operazione

a \cdot b := σ (a b H) (a, b \in L) .

Dimostrazione

L'identità $1_{G}$ sta in $L$ poiché esso è un trasversale di $G / H$ , dunque basta far vedere che l'equazione sinistra

a \cdot x = b, (1)

ha un'unica soluzione in $L .$

L'elemento $σ (a^{- 1} b H)$ è una soluzione di (1), poiché

a \cdot σ (a^{- 1} b H) = σ (a σ (a^{- 1} b H) H) = σ (a a^{- 1} b H) = σ (b H) = b .

Supponiamo che

a \cdot x = a \cdot y,

per qualche $x, y \in L$ , allora

a \cdot x = a \cdot y \Leftrightarrow σ (a \cdot x H) = σ (a \cdot y H) \Rightarrow σ (a \cdot x H) H = σ (a \cdot y H) H \Rightarrow

\Rightarrow a x H = a y H \Rightarrow x H = y H \Rightarrow x = y .

Teorema 2

Siano $G$ un gruppo, $H$ un sottogruppo ed $σ : G / H \to G$ una sezione con $σ (H) = 1_{G}$ . Il left-loop definito su $L = σ (G / H)$ rispetto l'operazione

a \cdot b := σ (a b H) (a, b \in L) .

è un loop se e solo se $L$ è trasversale sinistro per ogni spazio omogeneo $G / H^{g}$ , $g \in G$ .

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