Trasformazione isoentropica

In termodinamica, una trasformazione isoentropica è una trasformazione che avviene a entropia costante. Corrisponde a una trasformazione adiabatica reversibile.

La trasformazione isoentropica è un caso ideale, un caso limite. Nella realtà, e cioè per macchine che svolgono trasformazioni irreversibili, l'entropia tende ad aumentare per la presenza di irreversibilità di prima specie, derivanti da fenomeni dissipativi come l'attrito, e di seconda specie legate alla presenza di reazioni chimiche o elettromagnetiche presenti nel sistema.

Una trasformazione adiabatica reversibile è anche isoentropica. Infatti essendo reversibile varia l'entropia in misura uguale all'integrale di Clausius, che, nel caso adiabatico, vale zero.

Proprietà

La trasformazione isoentropica è un caso quasistatico della adiabatica, in cui l'entropia non aumenta.

Dal momento che l'energia scambiata dal sistema è nulla, l'equazione di Poisson implicita si ricava dal primo principio della termodinamica (per unità di quantità di sostanza):

c_{v} d T + p d v = 0

dove si sono introdotti rispettivamente il calore specifico isocoro in forma adimensionale, la temperatura espressa in unità energetiche, la pressione e il volume libero medio.

Gas ideale

In base all'equazione di stato dei gas ideali:

p v = T

si ottiene in assenza di lavoro isocoro per la legge di Poisson:

c_{v} d T + \frac{T}{v} d v = 0

che integrata nella temperatura e nel volume libero medio restituisce:

T_{2} v_{2}^{\frac{1}{c_{v}}} = T_{1} v_{1}^{\frac{1}{c_{v}}}

ovvero gli integrali primi (ovvero la legge di Poisson nelle sue varie forme) per la trasformazione isoentropica di un gas ideale sono:

{\begin{matrix} T v^{\frac{1}{c_{v}}} & = c o s t a n t e \\ p v^{\frac{1}{c_{v}} + 1} & = c o s t a n t e \\ T p^{- 1 / (1 + c_{v})} & = c o s t a n t e \end{matrix}

e quindi il lavoro di volume in base alla equazione di Poisson vale nella temperatura e nel volume:

l = c_{v} T_{1} (1 - \frac{T_{2}}{T_{1}}) = {\frac{c_{v}}{p}}_{1} v_{1} [1 - {(\frac{v_{1}}{v_{2}})}^{1 / c_{v}}]

che si può anche esprimere nella pressione, tenendo conto degli integrali primi:

l = {\frac{c_{p}}{p}}_{1} v_{1} [1 - {(\frac{p_{2}}{p_{1}})}^{1 / c_{p}}]

o se il sistema è chiuso nella densità numerica del gas ideale:

l = {\frac{c_{v}}{p}}_{1} v_{1} [1 - {(\frac{n_{2}}{n_{1}})}^{1 / c_{v}}]

Per la relazione di Mayer valida per un gas ideale, il rapporto può essere espresso in funzione del coefficiente isoentropico:

\frac{1}{c_{v}} = γ - 1

quindi gli integrali primi (ovvero la legge di Poisson nelle sue varie forme) per la trasformazione isoentropica di un gas ideale sono:

{\begin{matrix} T v^{γ - 1} & = c o s t a n t e \\ p v^{γ} & = c o s t a n t e \\ T p^{(1 - γ) / γ} & = c o s t a n t e \end{matrix}

e quindi il lavoro di volume vale, in funzione della temperatura e del volume:

l = c_{v} T_{1} (1 - \frac{T_{2}}{T_{1}}) = c_{v} T_{1} [1 - {(\frac{v_{1}}{v_{2}})}^{γ - 1}]

che si può anche esprimere in funzione della pressione, tenendo conto degli integrali primi:

l = c_{v} T_{1} [1 - {(\frac{p_{2}}{p_{1}})}^{\frac{γ - 1}{γ}}]

o, se il sistema è chiuso, in funzione della densità numerica del fluido:

l = c_{v} T_{1} [1 - {(\frac{n_{2}}{n_{1}})}^{γ - 1}]

ovvero, se la massa molecolare è costante, in funzione della massa volumica del fluido:

l = c_{v} T_{1} [1 - {(\frac{ρ_{2}}{ρ_{1}})}^{γ - 1}]

Note

↑ (EN) DOE Fundamentals Handbook - "Thermodynamics, Heat transfer, and fluid flow", p. 29. (PDF), su energy.gov (archiviato dall'url originale il 20 dicembre 2016).

Voci correlate

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[1] (EN) DOE Fundamentals Handbook - "Thermodynamics, Heat transfer, and fluid flow", p. 29. (PDF), su energy.gov (archiviato dall'url originale il 20 dicembre 2016).