Limite di Laplace

In matematica, il limite di Laplace è il valore massimo dell'eccentricità per il quale è convergente una soluzione all'equazione di Keplero espressa sotto forma di serie. Il suo valore approssimato è

0,66274 34193 49181 58097 47420 97109 25290.

L'equazione di Keplero

M = E - e \sin E

è usata in astronomia e correla l'anomalia media $M$ con l'anomalia eccentrica $E$ di un corpo che si muove attraverso una traiettoria ellittica con eccentricità $e$ . Questa equazione non ha soluzioni per $E$ in termini di funzioni elementari, ma può essere espressa come una serie di potenze:

E = M + \sin (M) ε + \frac{1}{2} \sin (2 M) ε^{2} + (\frac{3}{8} \sin (3 M) - \frac{1}{8} \sin (M)) ε^{3} + \dots

Laplace comprese che questa serie converge per piccoli valori dell'eccentricità ma diverge per ogni valore di $M$ diverso da un multiplo di $π$ se l'eccentricità è maggiore di un dato valore che non dipende da $M$ : questo valore è appunto il limite di Laplace ed è il raggio di convergenza della serie.

Il valore si ottiene come soluzione dell'equazione:

\frac{x \exp (\sqrt{1 + x^{2}})}{1 + \sqrt{1 + x^{2}}} = 1.

Collegamenti esterni

(EN) Eric W. Weisstein, Laplace Limit, su MathWorld, Wolfram Research.

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