Matrice compagna

In algebra lineare, la matrice compagna del polinomio monico di grado n:

P (X) = c_{0} + c_{1} X + \dots + c_{n - 1} X^{n - 1} + X^{n}

è la matrice quadrata di ordine n avente $1$ sulla prima sovradiagonale e i coefficienti di $P$ , cambiati di segno, sull'ultima riga:

C_{P} = (\begin{matrix} 0 & 1 & 0 & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋱ & 1 & ⋱ & ⋮ \\ ⋮ & ⋱ & ⋱ & 0 \\ 0 & \dots & \dots & 0 & 1 \\ - c_{0} & - c_{1} & \dots & \dots & - c_{n - 1} \end{matrix})

Alcuni autori chiamano matrice compagna la matrice trasposta della precedente, ovvero la matrice con $1$ sulla prima sottodiagonale e i coefficienti di $P$ , cambiati di segno, sull'ultima colonna:

C_{P}^{t} = (\begin{matrix} 0 & \dots & \dots & 0 & - c_{0} \\ 1 & ⋱ & ⋮ & - c_{1} \\ 0 & 1 & ⋱ & ⋮ & ⋮ \\ ⋮ & ⋱ & ⋱ & 0 & ⋮ \\ 0 & \dots & 0 & 1 & - c_{n - 1} \end{matrix})

Proprietà

La matrice compagna di $P$ ha polinomio caratteristico e polinomio minimo uguali a $P$ ; i suoi autovalori sono le radici di $P$ .
Per ogni radice $α$ di $P$ , il vettore $(1, α, α^{2}, \dots, α^{n - 1})^{t}$ è un autovettore di $C_{P}$ con autovalore $α$ . In particolare, se tutte le radici di $P$ sono distinte allora $C_{P}$ è diagonalizzabile tramite una matrice di Vandermonde.
Per ogni campo $k$ la matrice $C_{P}$ esprime la moltiplicazione per $X$ sull'anello $k (X) / P (X)$ , espresso come spazio vettoriale su $k$ con la base ${1, X, X^{2}, \dots, X^{n - 1}}$ . In particolare, se $P$ è irriducibile su $k$ e $α$ è una sua radice, $C_{P}$ esprime la moltiplicazione per $α$ sul campo $k (α)$ .
Se A è una matrice n×n su un campo K, sono equivalenti gli enunciati:
- $A$ è simile alla matrice compagna su $k$ del proprio polinomio caratteristico;
- il polinomio caratteristico di $A$ è uguale al suo polinomio minimo;
- esiste un vettore $v \in K^{n}$ tale che ${v, A v, A^{2} v, \dots, A^{n - 1} v}$ è una base di $K^{n}$ .

Non tutte le matrici quadrate sono simili ad una matrice compagna, ma tutte sono simili ad una matrice diagonale a blocchi di matrici compagne; queste ultime possono essere scelte in modo che i loro polinomi si dividano successivamente, quindi che siano univocamente determinate. Questa scrittura è la forma canonica razionale di $A$ .

Bibliografia

(EN) Roger A. Horn e Charles R. Johnson, Matrix Analysis, Cambridge, UK, Cambridge University Press, 1985, pp. 146-147, ISBN 0-521-30586-1. URL consultato il 10 febbraio 2010.
(EN) Richard E. Bellman, Richard (1987), Introduction to Matrix Analysis, SIAM, ISBN 0898713994 .

Voci correlate

Collegamenti esterni

(EN) Eric W. Weisstein, Companion Matrix, su MathWorld, Wolfram Research.

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