Modello Cox-Ingersoll-Ross

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Il modello Cox-Ingersoll-Ross, noto anche come modello CIR, è il metodo più famoso per la valutazione dei contratti appartenenti alla famiglia degli IRS (Interest Rate Sensitive) a cui appartiene anche il contratto Interest Rate Swap. Introdotto nel 1985 da John C. Cox, Jonathan E. Ingersoll e Stephen A. Ross, il modello CIR è un modello a un fattore della struttura a termine dei tassi d’interesse. Il tasso d'interesse istantaneo ${\displaystyle r_{t}}$ è descritto dal processo a radice quadrata

${\displaystyle \mathrm {d} r_{t}=\kappa (\theta -r_{t})\,\mathrm {d} t+\sigma {\sqrt {r_{t}}}\,\mathrm {d} W_{t},}$

dove ${\displaystyle W_{t}}$ è un processo di Wiener, ${\displaystyle \theta >0}$ è il livello di lungo periodo del tasso, ${\displaystyle \kappa >0}$ ne determina la velocità di ritorno verso tale livello e ${\displaystyle \sigma >0}$ ne determina la volatilità. Il termine ${\displaystyle {\sqrt {r_{t}}}}$ rende la volatilità dipendente dal livello del tasso e impedisce al processo di assumere valori negativi. Se vale la condizione di Feller

${\displaystyle 2\kappa \theta \geq \sigma ^{2},}$

lo zero non viene raggiunto partendo da un valore iniziale positivo. Il modello conserva inoltre una forma analiticamente trattabile: la distribuzione di transizione è una distribuzione chi-quadrato non centrale e i prezzi delle obbligazioni zero-coupon possono essere espressi in forma esponenziale-affine.

Elementi introduttivi

Si definisce spot rate (ovvero tasso locale oppure tasso a breve o infine tasso di rendimento istantaneo) ${\displaystyle r(t)}$ l'intensità istantanea di interesse in ${\displaystyle t}$ di uno zcb (zero coupon bond) con scadenza in ${\displaystyle t+dt}$ (currently maturing bond); si pone:

${\displaystyle r(t):=\lim _{T\to T_{0}}r(t,t+dt)=\lim _{T\to T_{0}}-{\frac {\ln {v(t,t+dt)}}{T}}=\lim _{T\to T_{0}}{\delta (t,t+dt)}}$

con ${\displaystyle T>t}$

Si definisce ${\displaystyle dZt}$ come:

${\displaystyle \xi (t){\sqrt[{2}]{dt}}}$

sapendo che ${\displaystyle \xi (t)}$ è un fattore di disturbo casuale che avrà:

${\displaystyle \ {\textrm {var}}[\xi (t)]=1}$

e

Equazione generale di valutazione

L'equazione generale di valutazione di qualsiasi contratto Interest Rate Sensitive, che non paghi dividenti, è un'equazione differenziale alle derivate parziali di secondo ordine (di tipo parabolico) deterministica e che deve essere soddisfatta dal prezzo ${\displaystyle Y(t)}$ di qualsivoglia contratto in ogni istante t.

Per la determinazione di tale equazione, si partirà dalla stima del prezzo del derivato (scritto su spot rate) che è un processo stocastico descritto da una equazione differenziale stocastica; in formule:

${\displaystyle dY(t)=\left({\frac {\partial Y(t)}{\partial t}}+f(r,t){\frac {\partial Y(t)}{\partial r(t)}}+{\frac {1}{2}}g^{2}(r,t){\frac {\partial ^{2}Y(t)}{\partial ^{2}r(t)}}\right)dt+\left(g(r,t){\frac {\partial Y(t)}{\partial r(t)}}\right)dZt}$

Note

Altri progetti

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