Modello di Einstein

In meccanica statistica e in fisica dello stato solido, il modello di Einstein è un modello sviluppato da Albert Einstein nel 1907 per calcolare il calore specifico di un solido. Si basa sull'ipotesi che gli atomi oscillino intorno alla loro posizione di equilibrio con una sola frequenza e che l'energia di oscillazione sia quantizzata. Tale modello tratta il solido come un aggregato di oscillatori isolati non interagenti tra loro, tutti con la stessa frequenza di risonanza.

Il modello di Einstein predice abbastanza correttamente la dipendenza ad alta temperatura del calore specifico molare. Tale modello coincide ad alta temperatura con il modello classico di Dulong-Petit. A temperature inferiori non rispetta perfettamente i risultati sperimentali. Tuttavia, nel limite $T \to 0$ , anche con il modello di Einstein il calore specifico tende a zero.

Tale modello è in contrasto con il modello di Debye che tratta le vibrazioni del reticolo cristallino come fononi in una scatola.

Calore specifico

La formula di Einstein per il calore specifico isocoro di un solido è:

c_{v} = 3 \frac{T_{ω}^{2}}{T^{2}} \frac{e^{\frac{T_{ω}}{T}}}{{(e^{\frac{T_{ω}}{T}} - 1)}^{2}}

Dove $T_{ω}$ è la temperatura di Einstein (qui espressa in unità energetiche, attraverso la moltiplicazione del valore di temperatura assoluta per la costante di Boltzmann), per cui vale una legge di Planck:

T_{ω} = ℏ ω

dove:

ℏ è la Costante di Dirac

Per concisione e semplicità si considererà qui un sistema di unità naturali in cui la costante di Dirac è unitaria; per cui al posto della temperatura di Einstein useremo semplicemente la pulsazione ω.

La temperatura di Einstein è infatti semplicemente una misura in unità di temperatura della frequenza delle oscillazioni degli atomi.

Per cui la espressione sopra può semplicemente riscriversi:

c_{v} = 3 \frac{ω^{2}}{T^{2}} \frac{e^{\frac{ω}{T}}}{{(e^{\frac{ω}{T}} - 1)}^{2}}

Per temperature elevate (T>> $ω$ ) si può sviluppare in serie l'esponenziale fermandosi ai primi due membri $1 + \frac{ω}{T} + ...$

Questo porta al risultato classico, in accordo con la legge di Dulong e Petit $c_{v} = 3$ .

A temperature molto basse (T<< $ω$ ) l'esponenziale diventa

\frac{ω}{T} (e^{- \frac{ω}{2 T}})

che tende a zero per

T \to 0

La curva della capacità termica in rapporto a $\frac{T}{ω}$ ha una forma rispondente all'evidenza sperimentale, ma è poco precisa quantitativamente. Questo perché l'ipotesi di Einstein prevede che tutti gli oscillatori oscillino con la stessa frequenza mentre in realtà oscillano in un campo di frequenze. Il modello di Debye tiene conto di questo fatto.

Einstein ricavò la formula della capacità termica derivando l'energia interna, calcolata utilizzando il suo modello, rispetto alla temperatura.

u = \frac{3 ω}{e^{\frac{ω}{T}} - 1}

Infatti la definizione del calore specifico isocoro è semplicemente:

c_{v} (T) = \frac{d u (T)}{d T}

Bibliografia

Peter Atkins, Julio De Paula, Chimica Fisica, 4ª ed., Bologna, Zanichelli, settembre 2004, ISBN 88-08-09649-1.

Voci correlate

Portale Quantistica

Portale Termodinamica