Momento (probabilità)

In probabilità, il momento semplice o teorico di origine $m$ e ordine $k$ di una variabile casuale discreta è definito come il valore atteso della $k$ -esima potenza dei valori

μ_{m, k} = \sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - m)^{k} p_{i},

dove $p_{i}$ denota la funzione di massa di probabilità della variabile casuale. Oppure, nel caso di una distribuzione continua,

μ_{m, k} = \int_{- \infty}^{+ \infty} (x - m)^{k} p_{X} (x) d x,

dove $p_{X} (x)$ denota la funzione di densità della variabile casuale.

Si definisce momento centrale un momento semplice con origine $E (X)$ e di ordine $k$ come la speranza matematica della $k$ -esima potenza dello scarto da $E (X)$ ( $μ$ = $μ_{0, 1}$ )

m_{k} = \sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - μ)^{k} p_{i},

oppure, nel caso di una variabile casuale continua,

m_{k} = \int_{- \infty}^{+ \infty} (x - μ)^{k} p_{X} (x) d x,

dove $μ$ denota appunto il valore atteso della variabile casuale.

Caratteristiche di tali momenti semplici e centrali sono:

$μ_{0} = m_{0} = 1$ ;
$μ_{1}$ è il valore atteso, indicata tradizionalmente con $μ$ ;
$m_{1} = 0$ ;
$m_{2} = μ_{2} - μ_{1}^{2}$ è la varianza, indicata tradizionalmente con $σ^{2}$ ;
$m_{3} = μ_{3} - 3 μ_{2} μ + 2 μ^{3}$ è l'asimmetria, o skewness;
$m_{4} = μ_{4} - 4 μ_{3} μ + 6 μ_{2} μ^{2} - 3 μ^{4}$ è la curtosi.

In generale, la relazione tra il momento centrale $m_{k}$ e i momenti semplici $μ_{j}$ è data da:

m_{k} = \sum_{r = 0}^{k} (\binom{k}{r}) μ_{k - r} (- μ)^{r},

dove $(\binom{k}{r})$ è il coefficiente binomiale. Per cui è possibile verificare quanto indicato sopra.

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Collegamenti esterni

(EN) Eric W. Weisstein, Moment, su MathWorld, Wolfram Research.

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