Notazione LCF

Il grafo di Nauru ha la notazione LCF [5, −9, 7, −7, 9, −5]4.

In matematica combinatoria, la notazione LCF o codice LCF è una notazione ideata da Joshua Lederberg ed estesa da Coxeter e Frucht, per la rappresentazione dei grafi cubici che sono hamiltoniani. Poiché i grafi sono hamiltoniani, i vertici possono essere disposti in cerchio, che corrisponde a due spigoli per vertice. Il terzo spigolo di ciascun vertice può essere descritto allora dal numero di posizioni che esso conduce in senso orario (positivo) o antiorario (negativo). Spesso il modello si ripete, il che è da un apice nella notazione. Per esempio, il grafo di Nauru, mostrato a destra, ha la notazione LCF [5, −9, 7, −7, 9, −5]4. I grafi possono avere diverse notazioni LCF, a seconda di come precisamente sono disposti i vertici.

I numeri tra parentesi quadre sono interpretate come modulo N, dove N è il numero dei vertici. Gli inserimenti uguali (modulo N) a 0, 1, e N−1 non sono permessi. poiché non corrispondono a terzi spigoli validi.

La notazione LCF è utile per pubblicare descrizioni concise dei grafi cubici hamiltoniani, come gli esempi sottostanti. Inoltre, alcuni pacchetti di programmi per manipolare grafi includono utilità per creare un grafo partendo dalla sua notazione LCF.

Esempi

NomeVerticiNotazione LCF
Grafo tetraedrico4[2]4
Grafo dei servizi pubblici6[3]6
Grafo cubico8[3,-3]4
Grafo di Wagner8[4]8 or [4,-3,3,4]2
Cubo di Bidiakis12[6,4,-4]4 or [6,-3,3,6,3,-3]2 or [-3,6,4,-4,6,3,-4,6,-3,3,6,4]
Grafo di Franklin12[5,-5]6 or [-5,-3,3,5]3
Grafo di Frucht12[-5,-2,-4,2,5,-2,2,5,-2,-5,4,2]
Grafo tetraedrico troncato12[2,6,-2]4
Grafo di Heawood14[5,-5]7
Grafo di Möbius-Kantor16[5,-5]8
Grafo di Pappus18[5,7,-7,7,-7,-5]3
Grafo di Desargues20[5,-5,9,-9]5
Grafo dodecaedrico20[10,7,4,-4,-7,10,-4,7,-7,4]2
Grafo di McGee24[12,7,-7]8
Grafo cubico24[2,9,-2,2,-9,-2]4
Grafo ottaedrico troncato24[3,-7,7,-3]6
Grafo di Nauru24[5,-9,7,-7,9,-5]4
Grafo F26A26[-7, 7]13
Grafo di Tutte-Coxeter30[-13,-9,7,-7,9,13]5
Grafo di Dyck32[5,-5,13,-13]8
Grafo di Gray54[-25,7,-7,13,-13,25]9
Grafo dodecaedrico troncato60[30, -2, 2, 21, -2, 2, 12, -2, 2, -12, -2, 2, -21, -2, 2, 30, -2, 2, -12, -2, 2, 21, -2, 2, -21, -2, 2, 12, -2, 2]2
Grafo di Harries70[-29,-19,-13,13,21,-27,27,33,-13,13,19,-21,-33,29]5
Grafo di Harrie-Wong70[9, 25, 31, -17, 17, 33, 9, -29, -15, -9, 9, 25, -25, 29, 17, -9, 9, -27, 35, -9, 9, -17, 21, 27, -29, -9, -25, 13, 19, -9, -33, -17, 19, -31, 27, 11, -25, 29, -33, 13, -13, 21, -29, -21, 25, 9, -11, -19, 29, 9, -27, -19, -13, -35, -9, 9, 17, 25, -9, 9, 27, -27, -21, 15, -9, 29, -29, 33, -9, -25]
Gabbia 10 di Balaban70[-9, -25, -19, 29, 13, 35, -13, -29, 19, 25, 9, -29, 29, 17, 33, 21, 9,-13, -31, -9, 25, 17, 9, -31, 27, -9, 17, -19, -29, 27, -17, -9, -29, 33, -25,25, -21, 17, -17, 29, 35, -29, 17, -17, 21, -25, 25, -33, 29, 9, 17, -27, 29, 19, -17, 9, -27, 31, -9, -17, -25, 9, 31, 13, -9, -21, -33, -17, -29, 29]
Grafo di Foster90[17,-9,37,-37,9,-17]15
Grafo di Biggs-Smith102[16, 24, -38, 17, 34, 48, -19, 41, -35, 47, -20, 34, -36, 21, 14, 48, -16, -36, -43, 28, -17, 21, 29, -43, 46, -24, 28, -38, -14, -50, -45, 21, 8, 27, -21, 20, -37, 39, -34, -44, -8, 38, -21, 25, 15, -34, 18, -28, -41, 36, 8, -29, -21, -48, -28, -20, -47, 14, -8, -15, -27, 38, 24, -48, -18, 25, 38, 31, -25, 24, -46, -14, 28, 11, 21, 35, -39, 43, 36, -38, 14, 50, 43, 36, -11, -36, -24, 45, 8, 19, -25, 38, 20, -24, -14, -21, -8, 44, -31, -38, -28, 37]
Gabbia 11 di Balaban112[44, 26, -47, -15, 35, -39, 11, -27, 38, -37, 43, 14, 28, 51, -29, -16, 41, -11, -26, 15, 22, -51, -35, 36, 52, -14, -33, -26, -46, 52, 26, 16, 43, 33, -15, 17, -53, 23, -42, -35, -28, 30, -22, 45, -44, 16, -38, -16, 50, -55, 20, 28, -17, -43, 47, 34, -26, -41, 11, -36, -23, -16, 41, 17, -51, 26, -33, 47, 17, -11, -20, -30, 21, 29, 36, -43, -52, 10, 39, -28, -17, -52, 51, 26, 37, -17, 10, -10, -45, -34, 17, -26, 27, -21, 46, 53, -10, 29, -50, 35, 15, -47, -29, -41, 26, 33, 55, -17, 42, -26, -36, 16]
Grafo di Ljubljana112[47, -23, -31, 39, 25, -21, -31, -41, 25, 15, 29, -41, -19, 15, -49, 33, 39, -35, -21, 17, -33, 49, 41, 31, -15, -29, 41, 31, -15, -25, 21, 31, -51, -25, 23, 9, -17, 51, 35, -29, 21, -51, -39, 33, -9, -51, 51, -47, -33, 19, 51, -21, 29, 21, -31, -39]2
Gabbia 12 di Tutte126[17, 27, -13, -59, -35, 35, -11, 13, -53, 53, -27, 21, 57, 11, -21, -57, 59, -17]7

Notazione LCF estesa

Una versione estesa, più complessa, della notazione LCF fu fornita da Coxeter, Frucht e Powers in un lavoro successivo. In particolare, essi introdussero una notazione "anti-palindromica": se la seconda metà dei numeri tra parentesi quadre era l'inverso della prima metà, ma con tutti i segni cambiati, allora era sostituita da un punto e virgola e da un trattino. Il grafo di Nauru soddisfa questa condizione con [5, −9, 7, −7, 9, −5]4, e perciò può essere scritto [5, −9, 7; −]4 nella notazione estesa.

Note

  1. 1 2 Eppstein, D., The many faces of the Nauru graph Archiviato il 21 luglio 2011 in Internet Archive. on LiveJournal, 2007.
  2. ↑ Tomaž Pisanski e Brigitte Servatius, 2.3.2 Cubic graphs and LCF notation, in Configurations from a Graphical Viewpoint, Springer, 2013, p. 32, ISBN 978-0-8176-8364-1.
  3. ↑ R. Frucht, A canonical representation of trivalent Hamiltonian graphs, in Journal of Graph Theory, vol. 1, n. 1, 1976, pp. 45-60, DOI:10.1002/jgt.3190010111.
  4. ↑ Klavdija Kutnar e Dragan Marušič, "Hamiltonicity of vertex-transitive graphs of order 4p," European Journal of Combinatorics, volume 29, numero 2 (febbraio 2008), pp. 423-438, sezione 2.
  5. ↑ Ad es. Maple, NetworkX Archiviato il 2 marzo 2012 in Internet Archive., R Archiviato il 21 agosto 2009 in Internet Archive., e sage.
  6. ↑ H. S. M. Coxeter, R. Frucht e D. L. Powers, Zero-symmetric graphs: trivalent graphical regular representations of groups, Academic Press, 1981, p. 54, ISBN 0-12-194580-4, MR 0658666.
  7. ↑ Coxeter, Fruch e Powers (1981), p. 12.

Collegamenti esterni

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