Numero rifattorizzabile

In teoria dei numeri, un numero rifattorizzabile o numero tau è un intero divisibile per il numero dei suoi divisori, ovvero un numero $n$ tale che $τ (n) | n$ (dove $τ$ è la funzione dei divisori). I primi numeri rifattorizzabili sono: 1, 2, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 40, 56, 60, 72, 80, 84, 88 e 96. Ad esempio, il numero 60 ha 12 divisori ed è divisibile per 12.

Proprietà matematiche

Esistono infiniti numeri rifattorizzabili, sia pari sia dispari.
Se un numero $n$ dispari è rifattorizzabile, lo è anche $2 n$ .
I numeri rifattorizzabili hanno una densità asintotica uguale a zero.
Tre numeri interi consecutivi non possono essere tutti rifattorizzabili.
Nessun numero rifattorizzabile può essere anche un numero perfetto.
L'equazione MCD $(n, x) = τ (n)$ è determinata solo se $n$ è rifattorizzabile.

Ci sono alcuni problemi irrisolti riguardanti i numeri rifattorizzabili. La congettura di Colton afferma che per ogni numero intero $n$ il numero di numeri rifattorizzabili minori o uguali a $n$ è almeno la metà della quantità di numeri primi minori o uguali a $n$ . Zelinsky ha inoltre congetturato che se esiste un numero rifattorizzabile $n_{0} \equiv a mod m$ , allora deve necessariamente esistere un $n > n_{0}$ tale $n$ è rifattorizzabile e $n \equiv a mod m$ .

Storia

I numeri rifattorizzabili furono definiti per la prima volta dai matematici Curtis Cooper e Robert E. Kennedy che dimostrarono che questo insieme ha densità asintotica nulla. Successivamente furono riscoperti dall'informatico Simon Colton, usando un software di sua invenzione, che inventa ed esamina definizioni relative a varie aree della matematica, come la teoria dei numeri e la teoria dei grafi. È stata una delle prime volte in cui una nuova idea matematica veniva scoperta autonomamente da un computer. Fu Colton a chiamare questi numeri "rifattorizzabili". Colton ha dimostrato che esistono infiniti numeri rifattorizzabili, oltre a diversi teoremi relativi alla loro distribuzione.

Note

↑ (EN) Successione A033950, su On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, The OEIS Foundation.
1 2 Cooper, C.N. and Kennedy, R. E. "Tau Numbers, Natural Density, and Hardy and Wright's Theorem 437." Internat. J. Math. Math. Sci. 13, 383-386, 1990
↑ J. Zelinsky, "Tau Numbers: A Partial Proof of a Conjecture and Other Results," Journal of Integer Sequences, Vol. 5 (2002), Articolo 02.2.8
↑ S. Colton, "Refactorable Numbers - A Machine Invention," Journal of Integer Sequences, Vol. 2 (1999), Article 99.1.2

Voci correlate

Collegamenti esterni

(EN) Eric W. Weisstein, Refactorable Number, su MathWorld, Wolfram Research.

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[1] (EN) Successione A033950, su On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, The OEIS Foundation.

[CK-2] 1 2 Cooper, C.N. and Kennedy, R. E. "Tau Numbers, Natural Density, and Hardy and Wright's Theorem 437." Internat. J. Math. Math. Sci. 13, 383-386, 1990

[3] J. Zelinsky, "Tau Numbers: A Partial Proof of a Conjecture and Other Results," Journal of Integer Sequences, Vol. 5 (2002), Articolo 02.2.8

[4] S. Colton, "Refactorable Numbers - A Machine Invention," Journal of Integer Sequences, Vol. 2 (1999), Article 99.1.2