Omotetia

In matematica, in particolare in geometria, un'omotetia (composto dai termini greci homós, "simile" e títhemi, "pongo") è una particolare trasformazione geometrica del piano o dello spazio, che dilata o contrae i segmenti, e quindi gli oggetti, a partire da un punto detto centro dell'omotetia. Le lunghezze variano in proporzione, mentre gli angoli restano invariati e si mantiene perciò la "forma" (nel senso intuitivo del termine) degli oggetti, come nelle similitudini, di cui è infatti un caso particolare.

L'uso di tale termine è relativamente nuovo, figurando la prima volta con Michel Chasles nel 1827.

Definizione

Esempio grafico: omotetia di centro $A$ e di rapporto $- \frac{1}{2} .$

Un'omotetia di centro $A$ e di rapporto $c$ (numero reale diverso da zero) è una trasformazione dello spazio euclideo secondo cui un qualsiasi punto $P$ dello spazio viene spostato, sulla semiretta $A P$ se $c$ positivo o sulla semiretta $P A$ se $c$ negativo, in modo che la sua distanza da $A$ cambi secondo il fattore costante $| c |$ .

Nell'esempio grafico a fianco $c = - \frac{1}{2}$ , quindi il punto $P$ viene trasformato in $P^{'}$ sulla semiretta $P A$ (ovvero la semiretta che origina in $P$ e va verso $A$ ) tale che $\overline{A P^{'}} = \frac{1}{2} \overline{A P}$ .

Questa trasformazione geometrica è anche chiamata con termini più familiari:

dilatazione, se $| c | > 1;$
contrazione, se $0 < | c | < 1;$
se $c = 1$ si ottiene l'identità, cioè la trasformazione nella quale ogni punto corrisponde a se stesso;
se $c = - 1$ si ottiene la simmetria centrale di centro $A$ o la rotazione di centro $A$ pari a un angolo piatto

L'omotetia è una particolare similitudine, ma non è vero il viceversa, infatti nelle omotetie il centro $A$ , un generico punto $P$ e il suo trasformato $P^{'}$ sono sempre allineati, mentre nelle similitudini è richiesto solo che si mantenga costante il rapporto tra le lunghezze.

Definizione tramite vettori

Mediante i vettori, l'omotetia di centro $A$ e di rapporto $c \neq 0$ si definisce come la trasformazione geometrica che porta ogni punto $P$ nell'unico punto $P^{'}$ soluzione dell'equazione vettoriale:

\vec{A P^{'}} = c \cdot \vec{A P} .

Molto spesso si dice che l'omotetia sia diretta o inversa secondo che $c$ sia positivo o negativo, tuttavia si tratta sempre di una proporzionalità diretta tra lunghezze.

Proprietà

Una omotetia moltiplica tutte le distanze per $| c |$ , di conseguenza tutte le aree per $| c |^{2}$ (o $c^{2}$ ) e tutti i volumi per $| c |^{3}$ .

Se $c \neq 1$ (cioè se non è un'identità), allora l'unico punto unito è il punto $A$ e le uniche rette unite sono quelli passanti per $A$ (si dice "unito" un ente geometrico che, a seguito di una trasformazione geometrica del piano o dello spazio, rimane sé stesso).

Algebra lineare

Un'omotetia è una trasformazione affine, definita in uno spazio euclideo di dimensione qualsiasi.

Se il centro $A$ dell'omotetia coincide con l'origine dello spazio, allora l'omotetia è una trasformazione lineare, la cui matrice associata rispetto ad una qualunque base è data dalla matrice identità moltiplicata per il fattore $c$ , ovvero dalla matrice diagonale avente tutti gli elementi della diagonale principale pari a $c$ .

Voci correlate

Altri progetti

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Collegamenti esterni

Omotetia, su Treccani.it – Enciclopedie on line, Istituto dell'Enciclopedia Italiana.

OMOTETIA, in Enciclopedia Italiana, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 1935.

omotetia, in Dizionario delle scienze fisiche, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 1996.

Omotetìa, su Vocabolario Treccani, Istituto dell'Enciclopedia Italiana.

omotetìa, su sapere.it, De Agostini.

(EN) Eric W. Weisstein, Homothecy, su MathWorld, Wolfram Research.

Controllo di autorità	Thesaurus BNCF 37360

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