Operatore lineare chiuso

In matematica, e più specificatamente in analisi funzionale, gli operatori lineari chiusi sono un'importante classe di operatore lineari su uno spazio di Banach. Essi sono più generali degli operatori lineari limitati, e quindi non sono necessariamente continui, ma hanno lo stesso proprietà interessanti per definire lo spettro e (sotto certe assunzioni) un calcolo funzionale per tali operatori. Molti operatori lineari importanti che non sono limitati sono chiusi, come l'operatore derivata e la grande classe degli operatori differenziali, per esempio in meccanica quantistica l'operatore momento e l'operatore posizione.

Definizione

Sia $B$ uno spazio di Banach. Un operatore lineare:

A : 𝒟 (A) \subset B \to B

è detto chiuso se per ogni successione ${x_{n}}_{n \in ℕ}$ in $𝒟 (A)$ convergente a $x \in B$ tale che:

lim_{n \to \infty} A x_{n} = y \in B

si ha che $x \in 𝒟 (A)$ e che:

A x = y

In modo equivalente, $A$ è chiuso se il suo grafico è chiuso in $X \oplus Y$ .

Dato un operatore $A$ , se la chiusura del suo grafico in $X \oplus Y$ è il grafico di un qualche operatore $\overline{A}$ allora $\overline{A}$ è la chiusura di $A$ , e $A$ è detto chiudibile. $A$ è quindi chiudibile se è la restrizione di un operatore chiuso $\overline{A}$ al dominio $𝒟 (A)$ di $A$ .

Proprietà

Per il teorema del grafico chiuso, ogni operatore chiuso definito su tutto lo spazio $X$ è limitato.

Se $A$ è chiuso allora $A - λ I$ è chiuso, dove $λ$ è uno scalare e $I$ l'identità.

Se $A$ è chiuso, allora il suo nucleo è un sottospazio chiuso di $X$ .

Se $A$ è chiuso e iniettivo, allora il suo inverso $A^{- 1}$ è chiuso.

Un operatore $A$ ammette una chiusura se e solo se per ogni coppia di successioni ${x_{n}}$ e ${y_{n}}$ in $𝒟 (A)$ convergenti a $x$ e tali che sia ${A x_{n}}$ che ${A y_{n}}$ convergono, si ha:

lim_{n} A x_{n} = lim_{n} A y_{n}

Note

↑ Reed, Simon, Pag. 250.

Bibliografia

(EN) Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2ª ed., San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0-12-585050-6.

Voci correlate

Collegamenti esterni

(EN) Eric W. Weisstein, Closed Operator, su MathWorld, Wolfram Research.

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[1] Reed, Simon, Pag. 250.