Associatività

In matematica, l'associatività (o proprietà associativa) è una proprietà che può avere un'operazione binaria. Significa che l'ordine di valutazione è irrilevante se l'operazione appare più di una volta in un'espressione. Detta in altro modo, non sono richieste parentesi per un'operazione associativa. Si consideri ad esempio l'uguaglianza

(5+2)+1 = 5+(2+1)

Sommando 5 e 2 si ottiene 7, e sommando 1 si ottiene il risultato 8 per il membro a sinistra. Per valutare il membro a destra, si inizia a sommare 2 e 1 ottenendo 3, e quindi si somma 3 e 5 per ottenere 8 ancora. Quindi l'uguaglianza è verificata. Di fatto è verificata per tutti i numeri reali, non solo per 5, 2, e 1. Diciamo che "l'addizione nell'insieme dei numeri reali è un'operazione associativa".

Le operazioni associative sono frequenti in matematica, e infatti molte strutture algebriche richiedono esplicitamente che le loro operazioni binarie siano associative. Tuttavia, molte operazioni importanti non sono associative; un esempio comune è il prodotto vettoriale.

Definizione

Formalmente, un'operazione binaria $*$ su un insieme S è detta associativa se soddisfa la legge associativa:

(x * y) * z = x * (y * z) per ogni x, y, z \in S .

L'ordine di valutazione non influisce sul valore di tale espressione, e si dimostra che lo stesso vale per le espressioni che contengono un numero arbitrario di operazioni $*$ . Quindi, quando $*$ è associativa, l'ordine di valutazione può essere lasciato non specificato senza causare ambiguità, omettendo le parentesi e scrivendo semplicemente:

x * y * z .

Esempi

Seguono alcuni esempi di operazioni associative.

In aritmetica, l'addizione e la moltiplicazione di numeri reali sono associative, cioè,

\begin{matrix} (x + y) + z = x + (y + z) = x + y + z \\ (x y) z = x (y z) = x y z \end{matrix}} per ogni x, y, z \in ℝ .

L'addizione e la moltiplicazione dei numeri complessi e dei quaternioni sono associative. La somma degli ottetti è ancora associativa, ma la moltiplicazione degli ottetti non è associativa.
Le funzioni massimo comun divisore e minimo comune multiplo agiscono associativamente:

$\begin{matrix} M.C.D. (M.C.D. (x, y), z) = M.C.D. (x, M.C.D. (y, z)) = M.C.D. (x, y, z) \\ m.c.m. (m.c.m. (x, y), z) = m.c.m. (x, m.c.m. (y, z)) = m.c.m. (x, y, z) \end{matrix}} per ogni x, y, z \in ℤ .$

L'intersezione e l'unione di insiemi:

\begin{matrix} (A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C) = A \cap B \cap C \\ (A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C) = A \cup B \cup C \end{matrix}} per tutti gli insiemi A, B, C .

Se M è un dato insieme e S indica l'insieme di tutte le funzioni da M a M, allora l'operazione di composizione di funzioni su S è associativa:

(f \circ g) \circ h = f \circ (g \circ h) = f \circ g \circ h per ogni f, g, h \in S .

Leggermente più in generale, dati quattro insiemi M, N, P e Q, con f: M a N, g: N a P, e h: P a Q, allora

(f \circ g) \circ h = f \circ (g \circ h) = f \circ g \circ h

come prima. In breve, la composizione di mappe è sempre associativa.

Una matrice rappresenta una trasformazione lineare fra spazi vettoriali rispetto a basi fissate, e il prodotto di matrici corrisponde alla composizione delle trasformazioni lineari corrispondenti. Dunque dall'associatività della composizione di funzioni segue l'associatività del prodotto di matrici.

Non associatività

Un'operazione binaria $*$ su un insieme S che non soddisfa la legge associativa è detta non associativa. In simboli,

(x * y) * z \neq x * (y * z) per qualche x, y, z \in S .

Per tale operazione l'ordine di valutazione è importante. La sottrazione, la divisione e l'esponenziazione sono esempi ben noti di operazioni non associative:

\begin{matrix} (5 - 3) - 2 \neq 5 - (3 - 2) \\ (4 / 2) / 2 \neq 4 / (2 / 2) \\ 2^{(1^{2})} \neq (2^{1})^{2} . \end{matrix}

In generale, le parentesi devono essere usate per indicare l'ordine di valutazione, se un'operazione non associativa appare più di una volta in un'espressione. Tuttavia i matematici si accordano su un particolare ordine di valutazione per molte operazioni non associative comuni. Questa è una convenzione, e non una verità matematica.

Un'operazione associativa a sinistra è un'operazione non associativa che viene valutata convenzionalmente da sinistra a destra, cioè,

\begin{matrix} x * y * z = (x * y) * z \\ w * x * y * z = ((w * x) * y) * z \\ etc. \end{matrix}} per ogni w, x, y, z \in S

mentre un'operazione associativa a destra è valutata convenzionalmente da destra a sinistra:

\begin{matrix} x * y * z = x * (y * z) \\ w * x * y * z = w * (x * (y * z)) \\ etc. \end{matrix}} per ogni w, x, y, z \in S

Esistono sia operazioni associative a sinistra che operazioni associative a destra; sotto sono dati alcuni esempi.

Altri esempi

Le operazioni associative a sinistra includono:

Sottrazione e divisione di numeri reali:

x - y - z = (x - y) - z per ogni x, y, z \in ℝ;

x / y / z = (x / y) / z per ogni x, y, z \in ℝ con y \neq 0, z \neq 0.

Le operazioni associative a destra includono le seguenti:

Esponenziazione di numeri reali:

x^{y^{z}} = x^{(y^{z})} .

La ragione per cui l'esponenziazione è associativa a destra è che un'esponenziazione associativa a sinistra ripetuta sarebbe meno pratica: ad esempio, la funzione

e^{x^{2}}

senza parentesi verrebbe identificata con

e^{2 x}

. Le ripetizioni multiple possono (e, per chiarezza, vengono) riscritte con il simbolo di moltiplicazione:

(x^{y})^{z} = x^{(y z)} .

l'operatore di assegnazione in molti linguaggi di programmazione è associativo a destra, ad esempio nel caso del linguaggio C:

x = y = z; è equivalente a x = (y = z); e non a (x = y) = z;

In altre parole, l'istruzione assegna il valore di z sia a y che a x.

nel linguaggio di programmazione APL tutte le primitive sono definite in modo da avere la stessa precedenza e sono sempre associative a destra, ad esempio:

      ⍝ ad A e C vengono assegnati degli scalari, a B un vettore, ⋄ è il separatore di statement
      A←2   ⋄   B←1 2 3 4 5   ⋄   C←1
      A×B     ⍝ moltiplica lo scalare A per ogni elemento del vettore B…
2 4 6 8 10    ⍝ … il risultato è un vettore
      B+C     ⍝ somma lo scalare C ad ogni elemento del vettore B
2 3 4 5 6
      A×B+C   ⍝ moltiplica lo scalare A per ogni elemento del vettore B+C
4 6 8 10 12
      A×(B+C) ⋄ (A×B)+C
4 6 8 10 12
3 5 7 9 11

ovvero A×B+C è equivalente a A×(B+C) e non a (A×B)+C.

Operazioni non associative per cui non è stato definito nessun ordine convenzionale di valutazione includono le seguenti:

Prendere la media di numeri reali:

\frac{(x + y) / 2 + z}{2} \neq \frac{x + (y + z) / 2}{2} \neq \frac{x + y + z}{3} per qualche x, y, z \in ℝ .

Prendere il complemento relativo di insiemi:

(A ∖ B) ∖ C \neq A ∖ (B ∖ C) per qualche insieme A, B, C .

Voci correlate

Altri progetti

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Collegamenti esterni

(EN) Eric W. Weisstein, Associative, su MathWorld, Wolfram Research.

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