Insieme complemento

Nella teoria degli insiemi e in altri campi della matematica, il complemento di un insieme è l'insieme degli elementi che non appartengono a quell'insieme. Gli insiemi complemento si dividono nei complementi relativi (detti anche insieme differenza) e nei complementi assoluti.

Complemento relativo

Avendo due insiemi $A$ e $B$ , il complemento di $A$ rispetto a $B$ o l'insieme differenza $B$ meno $A$ , è formato dai soli elementi di $B$ che non appartengono ad $A$ . Esso si indica solitamente come $B ∖ A$ oppure come $B - A$ . Formalmente abbiamo:

B ∖ A = B - A = {x \in B \land x \notin A}

Si noti che l'insieme differenza $B - A$ è un sottoinsieme dell'insieme $B$ .

Esempi

${1, 2, 3, 4, 5} - {3} = {1, 2, 4, 5}$
${a, b, c, d} - {c, d, e, f} = {a, b}$
${1, 2, 3} - {2, 3, 4} = {1}$
${2, 3, 4} - {1, 2, 3} = {4}$

Proposizioni

Se $A$ , $B$ e $C$ sono insiemi, allora valgono le seguenti identità:

$C - (A \cap B) = (C - A) \cup (C - B)$
$C - (A \cup B) = (C - A) \cap (C - B)$
$C - (B - A) = (A \cap C) \cup (C - B)$
$(B - A) \cap C = (B \cap C) - A = B \cap (C - A)$
$(B - A) \cup C = (B \cup C) - (A - C)$
$A - A = \emptyset$
$\emptyset - A = \emptyset$
$A - \emptyset = A$

Complemento assoluto

Il complemento assoluto è un caso particolare del complemento relativo.

Differenza tra un cubo e una sfera parzialmente sovrapposti

Se è definito un insieme universo $U$ , si definisce complemento assoluto di $A$ come il complemento relativo di $A$ rispetto ad $U$ . Formalmente abbiamo:

A^{c} = \neg A = U - A = {x \in U e x \notin A}

Il complemento assoluto, indicato anche come $\sim A$ , rappresenta anche il NOT nell'algebra Booleana.

A titolo di esempio, se l'insieme universale è l'insieme dei numeri naturali, allora il complemento dell'insieme dei numeri dispari è l'insieme dei numeri pari.

La prossima proposizione riporta alcune proprietà fondamentali del complemento assoluto in rapporto alle operazioni insiemistiche di unione e intersezione.

Se $A$ e $B$ sono sottoinsiemi di un insieme universo $U$ , allora valgono le seguenti identità.

Leggi di De Morgan:

$(A \cup B)^{c} = A^{c} \cap B^{c};$
$(A \cap B)^{c} = A^{c} \cup B^{c} .$

Leggi di complementarità:

$A \cup A^{c} = U;$
$A \cap A^{c} = \emptyset;$
$\emptyset^{c} = U;$
$U^{c} = \emptyset;$
Se $A \subseteq B$ , allora $B^{c} \subseteq A^{c}$ (ciò segue dall'equivalenza di una proposizione condizionale con la proposizione contronominale).

Involuzione o legge del doppio complemento:

$(A^{c})^{c} = A .$

Relazioni tra complemento relativo e complemento assoluto:

$A - B = A \cap B^{c};$
$(A - B)^{c} = A^{c} \cup B .$

Le prime due leggi di complementarità mostrano che se $A$ è un sottoinsieme non vuoto di $U$ , allora ${A, A^{c}}$ è una partizione di $U$ .

Bibliografia

Seymour Lipschutz, Topologia, Sonzogno, Etas Libri, 1979.
(EN) Paul Halmos (1960): Naive set theory, D. Van Nostrand Company. Ristampato da Springer nel 1974, ISBN 0-387-90092-6.
(FR) Nicolas Bourbaki (1968): Théorie des ensembles, Hermann.

Voci correlate

Collegamenti esterni

(EN) complement, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.

(EN) Eric W. Weisstein, Complement Set, su MathWorld, Wolfram Research.

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