Operazione interna

In matematica, un'operazione interna ad n argomenti (o n-aria) su un insieme $X$ è una funzione che ad ogni n-upla di $X^{n}$ associa un elemento dello stesso $X$ .

Definizione

Sia $X$ un insieme non vuoto e sia $n \in ℕ$ . Si chiama operazione interna su $X$ una funzione $*$ dal prodotto cartesiano $X^{n}$ a valori in $X$ :

* : X^{n} \to X

Equivalentemente, sia $m \in ℕ$ , si chiama operazione interna su $X$ una funzione $*$ :

* : X_{1} \times \dots \times X_{m - 1} \to X_{m}

se $X_{1} = \dots = X_{m - 1} = X_{m} = X$ .

Se $n = 2$ , l'operazione è detta operazione binaria interna su $X$ e l'immagine della coppia di punti $(x, y)$ si denota preferibilmente con la notazione di operazione $x * y$ piuttosto che con la notazione funzionale $* (x, y)$ .

Un insieme non vuoto dotato di una sola operazione interna è detto avere struttura di magma o di gruppoide.

Il motivo principale per cui può essere necessario verificare che un'arbitraria operazione $*$ sia o meno interna su un insieme $X$ (pure arbitrario purché non vuoto) sta nel fatto che solo se l'operazione è interna la coppia $(X, *)$ può essere considerata come struttura algebrica. Alternativamente, si può dire che condizione necessaria affinché una coppia $(X, *)$ sia una struttura algebrica è che l'operazione $*$ verifichi la proprietà di chiusura su $X$ .

Operazione esterna

Un'operazione non interna su un insieme $X$ si dice operazione esterna.

Esempi

Operazioni interne

L'operazione di somma usualmente denotata con + è interna sull'insieme dei numeri naturali e così pure lo è sugli interi, sui razionali, sui reali ed anche sui complessi.

Analogamente, il prodotto è operazione interna su ciascuno degli stessi insiemi.

Le operazioni di massimo comun divisore e di minimo comune multiplo sono operazioni interne sull'insieme dei numeri naturali.

Le operazioni di unione ed intersezione sono interne sull'insieme delle parti di un insieme.

Il prodotto vettoriale è operazione interna sull'insieme delle terne di numeri reali:

\land : ℝ^{3} \times ℝ^{3} \to ℝ^{3}

(\vec{v}, \vec{w}) \mapsto \vec{v} \land \vec{w}

Operazioni esterne

Il prodotto scalare è un'operazione esterna sull'insieme delle terne di numeri reali:

\cdot : ℝ^{3} \times ℝ^{3} \to ℝ

(\vec{v}, \vec{w}) \mapsto \vec{v} \cdot \vec{w}

essa ha infatti valori nel campo reale su cui è definito lo spazio vettoriale $ℝ^{3}$ e non nello spazio vettoriale stesso.

Il prodotto di un vettore per uno scalare è ancora operazione esterna all'insieme delle terne di numeri reali:

\cdot : ℝ \times ℝ^{3} \to ℝ^{3}

(k, \vec{v}) \mapsto k \vec{v}

in quanto se la si pensa come funzione

\cdot : A \times B \to C

si ha che anche in questo caso gli insiemi $A$ , $B$ e $C$ non sono tutti e tre uguali.

Il prodotto misto:

\cdot : ℝ^{3} \times ℝ^{3} \times ℝ^{3} \to ℝ

(\vec{v}, \vec{w}, \vec{z}) \mapsto \vec{v} \land \vec{w} \cdot \vec{z}

è infine ancora un'operazione (ternaria) esterna su $ℝ^{3}$ .

Bibliografia

Algebra, S. Mac Lane, G. Birkhoff, ed.: Mursia.

Voci correlate

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