Parallelepipedo

Parallelepipedo
Tipo	Prisma
Forma facce	Parallelogrammi
Nº facce	6
Nº spigoli	12
Nº vertici	8
Valenze vertici	3
Caratteristica di Eulero	2
	Manuale

In geometria solida, il parallelepipedo (etimologicamente: a piani, in greco epipedòn, paralleli) è un poliedro le cui facce sono 6 parallelogrammi. L'ampiezza degli angoli formati dalle sue facce può variare; quando gli angoli sono retti (formando un rettangolo per ogni faccia) si parla di parallelepipedo rettangolo.

Definizione

Un parallelepipedo può essere definito alternativamente in uno dei modi seguenti:

un prisma la cui base è un parallelogramma;
un esaedro le cui facce sono tutti parallelogrammi;
un esaedro con tre coppie di facce parallele.

In geometria analitica, usando i vettori, è possibile definire il parallelepipedo come l'insieme

{l 𝐚 + m 𝐛 + n 𝐜 | 0 \leq l, m, n \leq 1}

determinato da tre vettori $𝐚, 𝐛, 𝐜$ linearmente indipendenti nello spazio euclideo tridimensionale, indicato con $ℝ^{3}$ . Questi vettori coincidono con tre spigoli del parallelepipedo.

Volume

Il volume di un parallelepipedo è il prodotto dell'area di una qualsiasi delle sue 6 facce per la distanza $h$ fra il piano contenente tale faccia e quello contenente la faccia opposta.

In geometria analitica, se il parallelepipedo è determinato da tre vettori:

\begin{matrix} \vec{a} & = (a_{1}, a_{2}, a_{3}) \\ \vec{b} & = (b_{1}, b_{2}, b_{3}) \\ \vec{c} & = (c_{1}, c_{2}, c_{3}) \end{matrix}

il volume è il prodotto triplo

\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})

o equivalentemente, del determinante

det [\begin{matrix} a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \end{matrix}] .

Nel caso particolare di un parallelepipedo rettangolo, il volume diverrà quindi il prodotto aritmetico delle lunghezze dei tre lati.

Proprietà

Il parallelepipedo è un poliedro in cui ogni faccia è un poligono dotato di simmetria centrale, ed è quindi uno zonoedro. Le facce opposte sono parallelogrammi posti su piani paralleli.

Casi particolari

Un parallelepipedo le cui facce sono parallelogrammi particolari ha nomi più specifici:

un cuboide o parallelepipedo rettangolo è un parallelepipedo le cui facce sono tutte rettangoli;
un romboedro è un parallelepipedo le cui facce sono rombi;
un cubo è un parallelepipedo le cui facce sono quadrati.

Ciascuna di queste tipologie può essere definita in modo differente:

un parallelepipedo rettangolo è un parallelepipedo in cui gli angoli diedrali sono tutti retti;
un romboedro è un parallelepipedo i cui spigoli hanno tutti la stessa lunghezza;
un cubo è un parallelepipedo regolare.