Polilogaritmo

In matematica, il polilogaritmo è una funzione speciale che generalizza il logaritmo. Dato un numero complesso, si definisce la funzione polilogaritmo di ordine s e argomento (complesso) z la serie di potenze

{Li}_{s} (z) = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{z^{k}}{k^{s}} = z + \frac{z^{2}}{2^{s}} + \frac{z^{3}}{3^{s}} + \dots

se per ogni $z \in ℂ$ tale che $| z | < 1$ . Essa può essere estesa a una funzione definita su tutto $ℂ$ tramite il prolungamento analitico.

Per $s = 1$ il polilogaritmo coincide col classico logaritmo

{Li}_{1} (z) = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{z^{k}}{k} = - \ln (1 - z)

Per $s = 2$ il polilogaritmo è anche chiamato dilogaritmo e per $s = 3$ trilogaritmo. Per valori di s interi non positivi il polilogaritmo è una funzione razionale.

Il nome deriva dal fatto che il polilogaritmo può essere definito mediante la ripetizione dell'integrale

{Li}_{s + 1} (z) = \int_{0}^{z} \frac{{Li}_{s} (t)}{t} d t;

quindi il dilogaritmo è l'integrale del logaritmo e così via.

Proprietà

Una formula importante dovuta a Eulero è

\frac{π^{2}}{6} - \ln (z) \ln (1 - z) = {Li}_{2} (z) + {Li}_{2} (1 - z)

Per $z \in [0, 1]$ essa permette di trovare il valore del dilogaritmo di $1 / 2$ :

{Li}_{2} (\frac{1}{2}) = \frac{π^{2}}{12} - \frac{\ln^{2} (2)}{2}

L'integrale di Spence è un caso particolare del dilogaritmo. Esistono anche relazioni del dilogaritmo con le funzioni di Debye (vedi Abramowitz e Stegun).

Se $z = 1$ , per $Re (s) > 1$ la funzione polilogaritmo di ordine $s$ si riduce alla funzione zeta di Riemann in $s$ :

{Li}_{s} (1) = \sum_{k = 1}^{+ \infty} \frac{1}{k^{s}} = ζ (s)

Il polilogaritmo può anche essere scritto in termini di integrale della distribuzione di Bose-Einstein nel seguente modo:è

{Li}_{s} (z) = \frac{1}{Γ (s)} \int_{0}^{+ \infty} \frac{t^{s - 1}}{\frac{e^{t}}{z} - 1} d t

dove $Γ (s)$ è la funzione Gamma di Eulero. Esso converge per $Re (s) > 0$ e per ogni $z$ eccetto gli $z \in ℝ$ minori di $- 1$ . Questa rappresentazione permette di calcolare il valore di integrali del tipo

\int_{0}^{+ \infty} \frac{x^{n}}{e^{x} - 1} d x = Γ (n + 1) ζ (n + 1)

Casi particolari

{Li}_{1} (z) = - \ln (1 - z)

{Li}_{0} (z) = \frac{z}{1 - z}

{Li}_{- 1} (z) = \frac{z}{(1 - z)^{2}}

{Li}_{- 2} (z) = \frac{z (1 + z)}{(1 - z)^{3}}

{Li}_{- 3} (z) = \frac{z (1 + 4 z + z^{2})}{(1 - z)^{4}}

{Li}_{- 4} (z) = \frac{z (1 + z) (1 + 10 z + z^{2})}{(1 - z)^{5}} .

Galleria d'immagini

${Li}_{- 3} (z)$
${Li}_{- 2} (z)$
${Li}_{- 1} (z)$
${Li}_{0} (z)$
${Li}_{1} (z)$
${Li}_{2} (z)$
${Li}_{3} (z)$

Bibliografia

Jonquière, A. Note sur la série $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n^{s}}$ . Bulletin de la Société Mathématique de France, 17 (1889), p. 142-152
Lewin, L. Dilogarithms and Associated Functions. London: Macdonald, 1958.
Lewin, L. Polylogarithms and Associated Functions. New York: North-Holland, 1981.
Erdélyi, A.; Magnus, W.; Oberhettinger, F.; and Tricomi, F. G. Higher Transcendental Functions, Vol. 1. New York: Krieger, pp. 30–31, 1981.
Abramowitz, M. e Stegun, I. Handbook of Mathematical Functions. p. 1004 New York, Dover, 1972.

Voci correlate

Altri progetti

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Collegamenti esterni

Wolfram function site
- Dilogaritmo, su functions.wolfram.com.
- Polilogaritmo, su functions.wolfram.com.
Wolfram Mathworld polilogaritmo

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