Quadripotenziale

Il quadripotenziale è il potenziale associato al campo elettromagnetico in relatività ristretta: si tratta di una funzione a valori vettoriali che risulta invariante rispetto a delle particolari trasformazioni, chiamate trasformazioni di Lorentz.

Il quadripotenziale è un vettore a quattro componenti, di cui la prima è il potenziale elettrico e le restanti sono le tre componenti del potenziale vettore magnetico, ed è un campo di gauge, ovvero possiede gradi di libertà ridondanti (da cui segue che differenti campi possono descrivere la stessa situazione fisica). Nel gauge di Lorenz, in particolare, è un quadrivettore, dal momento che nelle trasformazioni di coordinate tra due riferimenti inerziali rispetta le trasformazioni di Lorentz.

Definizione

Il quadripotenziale elettromagnetico è definito come:

A^{α} = (\frac{ϕ}{c}, 𝐀)

in cui $ϕ$ è il potenziale elettrico ed $𝐀$ il potenziale magnetico.

L'unità di misura di $A^{α}$ è volt·secondo/metro nel SI, e Maxwell/centimetro nel sistema di Gauss. Il campo elettrico ed il campo magnetico associati al quadripotenziale sono:

𝐄 = - 𝜵 ϕ - \frac{\partial 𝐀}{\partial t}

𝐁 = 𝜵 \times 𝐀

Al fine di soddisfare le condizioni imposte dalla relatività speciale i campi devono essere scritti in forma tensoriale, in modo che nelle trasformazioni di coordinate tra due riferimenti inerziali rispettino le trasformazioni di Lorentz.

Il tensore elettromagnetico è definito a partire dal quadripotenziale nel seguente modo:

F^{μ ν} = \partial^{μ} A^{ν} - \partial^{ν} A^{μ}

Si tratta di un tensore antisimmetrico la cui traccia è nulla.

Gauge di Lorenz

Lo stesso argomento in dettaglio: Gauge di Lorenz.

Nel gauge di Lorenz $\partial_{α} A^{α} = 0$ in un sistema di riferimento inerziale, l'equazione delle onde per i campi è data da:

◻ A^{α} = μ_{0} J^{α} (◻ A^{α} = \frac{4 π}{c} J^{α})

dove $J^{α}$ sono le componenti della quadricorrente, e:

◻ = \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} - \nabla^{2}

è l'operatore di d'Alembert. Esplicitamente:

◻ ϕ = \frac{ρ}{ε_{0}} (◻ ϕ = 4 π ρ)

◻ 𝐀 = μ_{0} 𝐣 (◻ 𝐀 = \frac{4 π}{c} 𝐣)

Le equazioni di Maxwell espresse in termini dei potenziali scalare e vettore assumono di conseguenza la forma:

\nabla^{2} φ + \frac{\partial}{\partial t} (𝜵 \cdot 𝐀) = - \frac{ρ}{ε_{0}}

(\nabla^{2} 𝐀 - \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2} 𝐀}{\partial t^{2}}) - 𝜵 (𝜵 \cdot 𝐀 + \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial φ}{\partial t}) = - μ_{0} 𝐉

Per una data distribuzione di carica $ρ (𝐱, t)$ e corrente $𝐣 (𝐱, t)$ le soluzioni nel SI delle precedenti equazioni sono i potenziali ritardati:

ϕ (𝐱, t) = \frac{1}{4 π ε_{0}} \int d^{3} x^{'} \frac{ρ (𝐱^{'}, τ)}{| 𝐱 - 𝐱^{'} |}

𝐀 (𝐱, t) = \frac{μ_{0}}{4 π} \int d^{3} x^{'} \frac{𝐣 (𝐱^{'}, τ)}{| 𝐱 - 𝐱^{'} |}

dove:

τ = t - \frac{| 𝐱 - 𝐱^{'} |}{c}

è il tempo ritardato.

Note

↑ The Theory of Relativity, by R. K. Pathria, p128
1 2 Jackson, Pag. 555.
↑ Jackson, Pag. 556.

Bibliografia

(EN) John D Jackson, Classical Electrodynamics, 3rd Edition, Wiley, 1999, ISBN 0-471-30932-X.
(EN) Rindler, Wolfgang, Introduction to Special Relativity (2nd), Oxford, Oxford University Press, 1991, ISBN 0-19-853952-5.

Voci correlate

Altri progetti

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Collegamenti esterni

Quadripotenziale, in Dizionario delle scienze fisiche, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 1996.

Quadripotenziale, su Vocabolario Treccani, Istituto dell'Enciclopedia Italiana.

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