Processo di Poisson

Definizione infinitesimale

Un processo di Poisson è un processo stocastico che soddisfa le seguenti proprietà:

• ${\displaystyle N_{0}=0.}$
• Il numero di eventi contati in intervalli di tempo disgiunti sono indipendenti, ossia le variabili aleatorie

${\displaystyle N_{t_{k}}-N_{t_{k-1}},\dots ,N_{t_{1}}-N_{t_{0}},\qquad \forall t_{0}=0<t_{1}<\dots <t_{k},}$

sono indipendenti.

• La probabilità di un evento in un piccolo intervallo di tempo è proporzionale alla lunghezza, ossia, per ${\displaystyle h\rightarrow 0}$

${\displaystyle \mathbb {P} (N_{t+h}-N_{t}=1)=\lambda h+o(h).}$

La costante di proporzionalità ${\displaystyle \lambda }$ è detta intensità del processo.

• La probabilità che accada più di un evento in un piccolo intervallo di tempo è trascurabile, ossia

${\displaystyle \mathbb {P} (N_{t+h}-N_{t}>1)=o(h).}$

Costruzione attraverso i tempi di attesa

Consideriamo degli eventi che si manifestano a distanze aleatorie ${\displaystyle S_{k}}$ l'uno dall'altro, dove gli ${\displaystyle S_{k}}$ sono distribuzioni esponenziali di parametro ${\displaystyle \lambda }$, ognuna indipendente dalle altre. Allora il processo definito da

${\displaystyle N_{t}=\sup {\left\{n:\sum _{k=1}^{n}{S_{k}}\leq t\right\}}}$

è un processo di Poisson di intensità ${\displaystyle \lambda .}$

Definizione attraverso le probabilità di transizione

Un processo di Poisson è un processo stocastico che soddisfa le seguenti proprietà:

• ${\displaystyle N_{0}=0.}$
• Gli incrementi sono stazionari (ovvero la distribuzione del numero di eventi che accadono in un certo intervallo dipende solo dalla lunghezza dell'intervallo) e hanno distribuzione di Poisson di parametro ${\displaystyle \lambda t,}$ ossia:

${\displaystyle \mathbb {P} (N_{t+\tau }-N_{t}=k)={\frac {e^{-\lambda \tau }(\lambda \tau )^{k}}{k!}},\qquad k=0,1,\ldots .}$