Prodotto misto

Nel calcolo vettoriale un prodotto misto è un'espressione in cui compaiono contemporaneamente prodotti scalari e vettoriali di vettori dello spazio tridimensionale.

Prodotto triplo

Il prodotto misto più noto è il prodotto triplo di tre vettori $𝐚$ , $𝐛$ , $𝐜$ . Si tratta di un'espressione in cui compare un prodotto scalare e un prodotto vettoriale, ad esempio:

(𝐚 \times 𝐛) \cdot 𝐜 .

La parentesi è in realtà superflua, in quanto $𝐚 \times (𝐛 \cdot 𝐜)$ non ha senso poiché il prodotto vettoriale è un'operazione tra due vettori e $𝐛 \cdot 𝐜$ è invece uno scalare.

Il risultato è uno scalare il cui valore assoluto non dipende né dall'ordine dei tre vettori né dall'ordine delle due operazioni. Il valore assoluto è pari al volume del parallelepipedo costruito sui tre vettori (oppure pari a 6 volte il volume del tetraedro costruito sui tre vettori). Come conseguenza di questa proprietà, supponendo che nessuno dei tre vettori sia nullo, il prodotto triplo è pari a zero se e solo se i vettori sono complanari; per questo motivo, e poiché gode della proprietà commutativa a meno del segno, è comune usare il prodotto triplo come test di complanarità.

Il segno del prodotto triplo dipende dall'ordine dei vettori e delle due operazioni. Una permutazione ciclica dei tre vettori coinvolti nel prodotto misto, o lo scambio dei due operatori, non ne modifica il risultato (e dunque il segno):

(𝐚 \times 𝐛) \cdot 𝐜 = (𝐛 \times 𝐜) \cdot 𝐚 = (𝐜 \times 𝐚) \cdot 𝐛 .

Un permutazione pari coincide con una permutazione ciclica e una singola permutazione (dispari) cambia il segno:

(𝐚 \times 𝐛) \cdot 𝐜 = - (𝐛 \times 𝐚) \cdot 𝐜 = (𝐜 \times 𝐚) \cdot 𝐛 .

Questa proprietà può essere resa in modo formale avvalendosi delle proprietà del determinante. Infatti

(𝐚 \times 𝐛) \cdot 𝐜 = det (\begin{matrix} a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{matrix}) .

Doppio prodotto vettoriale

Generalmente, un prodotto misto in cui compaiono due o più prodotti vettoriali può essere trasformato nella somma di vari prodotti misti contenenti al più un prodotto vettoriale. Ad esempio l'espressione

𝐚 \times 𝐛 \times 𝐜

può essere riscritta imponendo un'uguaglianza del tipo

𝐚 \times 𝐛 \times 𝐜 = A 𝐚 (𝐛 \cdot 𝐜) + B 𝐛 (𝐜 \cdot 𝐚) + C 𝐜 (𝐚 \cdot 𝐛)

con incognite A, B e C. Poiché il vettore a × (b × c) appartiene al piano formato dai vettori b e c, vale A = 0. Ponendo a = b = c = i si determina che A + B + C = 0; mentre, ponendo a = b = i e c = j si determina che C = -1. Di conseguenza è B = 1, e si è ottenuta la seguente uguaglianza:

𝐚 \times (𝐛 \times 𝐜) = 𝐛 (𝐜 \cdot 𝐚) - 𝐜 (𝐚 \cdot 𝐛) .

Analogamente, vale l'uguaglianza seguente:

(𝐚 \times 𝐛) \cdot (𝐚 \times 𝐜) = (𝐚 \cdot 𝐚) (𝐛 \cdot 𝐜) - (𝐚 \cdot 𝐛) (𝐚 \cdot 𝐜) .

Note

↑ Marco Bramanti, Carlo D. Pagani e Sandro Salsa, Vettori nel piano e nello spazio, in Analisi matematica 1 con elementi di geometria e algebra lineare, Zanichelli editore S.p.A., 2014, p. 373, ISBN 978-88-08-25421-4.
1 2 Biscari, Ruggeri, Saccomandi e Vianello, Meccanica Razionale, 3ª edizione, Springer, 2016, v. Appendice A.1.

Voci correlate

Collegamenti esterni

(EN) Eric W. Weisstein, Scalar Triple Product, su MathWorld, Wolfram Research.

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[1] Marco Bramanti, Carlo D. Pagani e Sandro Salsa, Vettori nel piano e nello spazio, in Analisi matematica 1 con elementi di geometria e algebra lineare, Zanichelli editore S.p.A., 2014, p. 373, ISBN 978-88-08-25421-4.

[:0-2] 1 2 Biscari, Ruggeri, Saccomandi e Vianello, Meccanica Razionale, 3ª edizione, Springer, 2016, v. Appendice A.1.